Теорема гаусса для поля. §5 Теорема Гаусса. Теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме
Электростатическое поле наглядно можно изобразить с помощью силовых линий (линий напряженности). Силовыми линиями называют кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором напряженности Е .
Силовые линии являются условным понятием и реально не существуют. Силовые линии одиночного отрицательного и одиночного положительного зарядов изображены на рис. 5 - это радиальные прямые, выходящие от положительного заряда или идущие к отрицательному заряду.
Если густота и направление силовых линий по всему объему поля сохраняются неизменными, такое электростатическое поле считается однородным (выделение">число линий должно быть численно равно напряженности поля Е .
Число силовых линий пометка">dS, перпендикулярную к ним, определяет поток вектора напряженности электростатического поля:
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - проекция вектора Е на направление нормали n к площадке dS (рис. 6 ).
Соответственно поток вектора Е сквозь произвольную замкнутую поверхность S
пометка">S не только величина, но и знак потока могут меняться:
1) при формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
3) при выделение">Найдем поток вектора Е сквозь сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q.
В этом случае пометка">Е и n во всех точках сферической поверхности совпадают.
С учетом напряженности поля точечного заряда формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-2.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" получим
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/Fe.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - алгебраическая величина, зависящая от знака заряда. Например, при q <0 линии Е направлены к заряду и противоположны направлению внешней нормали n ..gif" border="0" align="absmiddle" alt=" вокруг заряда q имеет произвольную форму. Очевидно, что поверхность пометка">Е, что и поверхность S. Следовательно, поток вектора Е сквозь произвольную поверхность формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/Fe.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".
Если заряд будет находиться вне замкнутой поверхности, то, очевидно, сколько линий войдет в замкнутую область, столько же из нее и выйдет. В результате поток вектора Е будет равен нулю.
Если электрическое поле создается системой точечных зарядов формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Эта формула является математическим выражением теоремы Гаусса: поток вектора напряженности Е электрического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, которые она охватывает, деленной на формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-6.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Для полноты описания представим теорему Гаусса еще и в локальной форме, опираясь не на интегральные соотношения, а на параметры поля в данной точке пространства. Для этого удобно использовать дифференциальный оператор - дивергенцию вектора, -
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/nabla.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" («набла») -
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
В математическом анализе известна теорема Гаусса-Остроградского: поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от его дивергенции по объему, ограниченному этой поверхностью, -
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/ro.gif" border="0" align="absmiddle" alt=":
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Это выражение и есть теорема Гаусса в локальной (дифференциальной) форме.
Теорема Гаусса (2.2) позволяет определять напряженности различных электростатических полей. Рассмотрим несколько примеров применения теоремы Гаусса.
1. Вычислим Е электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.
Предположим, что сферическая поверхность радиуса R несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда всюду одинакова пометка">r >R от центра сферы мысленно построим новую сферическую поверхность S, симметричную заряженной сфере. В соответствии с теоремой Гаусса
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/20-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Для точек, находящихся на поверхности заряженной сферы радиуса R, по аналогии можно записать:
выделение">внутри заряженной сферы, не содержит внутри себя электрических зарядов, поэтому поток пометка">Е = 0.
Электростатическое поле – это особый вид материи, с помощью которой происходит взаимодействие заряженных тел.
Закон Кулона :сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами q 1 и q 2 прямопропорциональна величинам этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:
Где (e 0 – электрическая постоянная);
e – диэлектрическая проницаемость среды, показывающая во сколько раз сила взаимодействия зарядов в данной среде меньше, чем в вакууме.
Электрические поля, которые создаются неподвижными электрическими зарядами, называются электростатическими .
Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина , определяемая силой, действующей на пробный точечный положительный заряд q 0 , помещенный в эту точку поля, то есть:
Электростатическое поле может быть изображено графически с помощьюсиловых линий .Силовая линия - это такая линия, касательная в каждой точке к которой совпадает по направлению с вектором напряженности электростатическго поля в данной точке (рис. 1, 2).
Если поле создается точечным зарядом, то силовые линии – это радиальные прямые, выходящие из положительного заряда (рис. 2, а ), и входящие в отрицательный заряд (рис. 2, б ).
Рис. 1 Рис. 2
С помощью силовых линий можно характеризовать не только направление, но и величину напряженности электростатического поля, связывая ей с густотой силовых линий. Большей густоте силовых линий соответствует большая величина напряженности (рис. 1, 2). Количественно числу силовых линий, пронизывающих единичную площадку, расположенную перпендикулярно силовым линиям, ставится в соответствие величина напряженности электростатического поля. В этом случае определенному заряду q , создающему поле, соответствует определенное число N силовых линий, выходящих (для ) из заряда или входящих (для ) в заряд, а именно: .
Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную площадку S характкризуется числом силовых линий, пронизывающих данную площадку S.
Если площадка S перпендикулярна силовым линиям (рис. 3), то поток Ф Е вектора напряженности через данную площадку S : .
Рис. 3 Рис. 4
|
,
где α – угол между векторами напряженности и нормали к площадке S .
Для того, чтобы найти поток Ф Е вектора напряженности через произвольную поверхность S , необходиморазбить эту поверхность на элементарные площадки dS (рис. 5),определить элементарный поток dФ Е через каждую площадку dS по формуле:
,
а затем все эти элементарные потоки dФ Е сложить, что приводит к интегрированию:
,
где α – угол между векторами напряженности и нормали к данной элементарной площадке dS .
|
.
Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля.
Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля связывает между собой величину потока Ф Е вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность S с величинойзаряда q , заключенного внутри данной замкнутой поверхности S (рис. 6).
|
.
Это соотношение есть теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля.
Таккак поток считается положительным, если силовые линии выходят из поверхности S , и отрицательным для линий, входящих в поверхность S, то в случае, если внутри произвольной замкнутой поверхности S находится не один, а несколько (n ) разноименных зарялов, то теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля формулируется следующим образом:
поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e 0 :
.
Тема 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал
Если в электростатическом поле, создаваемом точечным зарядом q , перемещается другой пробный заряд q 0 из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис. 7), то при этом совершается работа сил электростатического поля.
Элементарная работа dA силы на элементарном перемещении равна: .
Из рисунка 7 видно, что .
Тогда ().
Работа А при перемещении заряда q 0 вдоль траектории от точки 1 до точки 2 :
То есть работа при перемещении заряда из точки 1 в
точку 2 в электростатическом поле не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точек. Поэтому электростатическое поле точечного заряда является потенциальным .
Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q 0 из точки 1 в точку 2 , выражается следующим образом:
,
где φ 1 и φ 2 – потенциалы электростатического поля в точках 1 и 2 .
Потенциал электростатического поля определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной С , то есть для поля точечного заряда q :
.
Тогда , .
Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами электростатического поля, при перемещении пробного точечного заряда q 0 из точки 1 в точку 2 :
.
Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля
Напряженность и потенциал φ электростатического поля связаны между собой следующим образом:
= – grad φ
или , где
– единичные векторы координатных осей Ох , Оy , Оz , соответственно.
Знак минус в приведенной формуле означает, что вектор напряженности электростатического поля направлен в сторону максимального убывания потенциала j .
Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля используютсяэквипотенциальные поверхности, то естьповерхности, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение.
Например, для поля, созданного точечным зарядом q , потенциал j определяется выражением: , а эквипотенциальными поверхностями являются концентрические сферы (рис. 8).
Из этого рисунка видно, что в случае точечного заряда силовые линии поля (штриховые линии на рисунке) нормальны (перпендикулярны) к эквипотенциальным поверхностям (сплошные линии на рисунке).
Это свойство нормального взаимного расположения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей электростатического поля является общим для любых случаев электростатического поля.
Таким образом, зная расположение силовый линий электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности этого электростатического поля и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей электростатического поля можно построить силовые линии электростатического поля.
Магнитное поле
Тема 3. Магнитное поле. Закон Био-Савара-Лапласа
Электрический ток создает поле, действующее на магнитную стрелку. Стрелка ориентируется по касательной к окружности, лежащей в плоскости, перпендикуляной к проводнику с током (рис. 9).
Основной характеристикой магнитного поля является вектор индукция . Принято, что вектор индукция магнитного поля направлен в сторону север-ного полюса магнитной стрелки, помещенной в данную точку поля (рис. 9).
По аналогии с электрическим полем, магнитное поле также может быть изображено графически с помощью силовых линий (линий индукции магнитного поля ).
Силовая линия – это такая линия, касательная к которой в каждой точке совпадает по направлению с вектором индукции магнитного поля. Силовые линии магнитного поля, в отличие от силовых линий электростатического поля, являются замкнутыми и охватывают проводники с током. Направление силовых линий задается правилом правого винта (правилом буравчика): головка винта, ввинчиваемого по направлению тока, вращается в направлении линий Рис. 9
магнитной индукции (рис. 9).
Для нескольких источников магнитного поля согласно принципу суперпозиции магнитных полей индукция результирующего магнитного поля равна векторной сумме индукций всех отдельных магнитных полей:
Вектор индукции магнитного поля, создаваемого проводником с током , можно определить с помощью закона Био-Савара-Лапласа. При этомнеобходимо учесть то, что закон Био-Савара-Лапласа позволяет найти модуль и направление лишьвектора индукции магнитного поля, создаваемого элементом проводника с током . Поэтому для определения вектора индукции магнитного поля, создаваемого проводником с током , необходимо первоначально разбить этот проводник на элементы проводника , для каждого элемента с помощью закона Био-Савара-Лапласа найти вектор индукции , а затем, используя принцип суперпозиции магнитных полей, сложить векторно все найденные вектора индукции .
Принцип суперпозиции в сочетании с законом Кулона даёт ключ к вычислению электрического поля произвольной системы зарядов, но непосредственное суммирование полей по формуле (4.2) обычно требует сложных вычислений. Впрочем, при наличии той или иной симметрии системы зарядов вычисления существенно упрощаются, если ввести понятие потока электрического поля и использовать теорему Гаусса.
Представления о потоке электрического поля привнесены в электродинамику из гидродинамики. В гидродинамике поток жидкости через трубу, то есть объём жидкости N , проходящий через сечение трубы в единицу времени, равен v ⋅ S , где v — скорость жидкости, а S — площадь сечения трубы. Если скорость жидкости изменяется по сечению, нужно использовать интегральную формулу N = ∫ S v → ⋅ d S → . Действительно, выделим в поле скоростей малую площадку d S , перпендикулярную к вектору скорости (рис. ).
|
Объём жидкости, протекающий через эту площадку за время d t , равен v d S d t . Если площадка наклонена к потоку, то соответствующий объём будет v d S cos θ d t , где θ — угол между вектором скорости v → и нормалью n → к площадке d S . Объём жидкости, протекающий через площадку d S в единицу времени получается делением этой величины на d t . Он равен v d S cos θ d t , т.е. скалярному произведению v → ⋅ d S → вектора скорости v → на вектор элемента площади d S → = n → d S . Единичный вектор n → нормали к площадке d S можно провести в двух прямо противоположных направлениях. одно из них условно принимается за положительное. В этом направлении и проводится нормаль n → . Та сторона площадки, из которой выходит нормаль n → , называется внешней, а та, в которую нормаль n → входит, — внутренней. Вектор элемента площади d S → направлен по внешней нормали n → к поверхности, а по величине равен площади элемента d S = ∣ d S → ∣ . При вычислении объёма протекающей жидкости через площадку S конечных размеров, её надо развить на бесконечно малые площадки d S , а затем вычислить интеграл ∫ S v → ⋅ d S → по всей поверхности S .
Выражения типа ∫ S v → ⋅ d S → встречаются во многих отраслях физики и математики. Они называются потоком вектора v → через поверхность S независимо от природы вектора v → . В электродинамике интеграл
N = ∫ S E → ⋅ d S → | (5.1) |
Допустим, что вектор E → представляется геометрической суммой
E → = ∑ j E → j .
Умножив это равенство скалярно на d S → и проинтегрировав, получим
N = ∑ j N j .
где N j — поток вектора E → j через ту же самую поверхность. Таким образом, из принципа суперпозиции напряженности электрического поля следует, что потоки через одну и ту же поверхность складываются алгебраически.
Теорема Гаусса гласит, что поток вектора E → через произвольную замкнутую поверхность равен умноженному на 4 π суммарному заряду Q всех частиц, находящихся внутри этой поверхности: