Уравнение прямой на плоскости. Направляющий вектор прямой. Вектор нормали. Прямая линия. Уравнение прямой Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой

Задача — по заданным координатам конца отрезка построить прямую, проходящую через него.

Мы считаем, что отрезок невырожден, т.е. имеет длину больше нуля (иначе, понятно, через него проходит бесконечно много различных прямых).

Двумерный случай

Пусть дан отрезок , т.е. известны координаты его концов , , , .

Требуется построить уравнение прямой на плоскости , проходящей через этот отрезок, т.е. найти коэффициенты , , в уравнении прямой:

Заметим, что искомых троек , проходящих через заданный отрезок, бесконечно много : можно умножить все три коэффициента на произвольное ненулевое число и получить ту же самую прямую. Следовательно, наша задача — найти одну из таких троек.

Нетрудно убедиться (подстановкой этих выражений и координат точек и в уравнение прямой), что подходит следующий набор коэффициентов:

Целочисленный случай

Важным преимуществом такого способа построения прямой является то, что если координаты концов были целочисленными, то и полученные коэффициенты также будут целочисленными . В некоторых случаях это позволяет производить геометрические операции, вообще не прибегая к вещественным числам.

Однако есть и небольшой недостаток: для одной и той же прямой могут получаться разные тройки коэффициентов. Чтобы избежать этого, но не уходить от целочисленных коэффициентов, можно применить следующий приём, часто называемый нормированием . Найдём наибольший общий делитель чисел , , , поделим на него все три коэффициента, а затем произведём нормировку знака: если или , то умножим все три коэффициента на . В итоге мы придём к тому, что для одинаковых прямых будут получаться одинаковые тройки коэффициентов, что позволит легко проверять прямые на равенство.

Вещественнозначный случай

При работе с вещественными числами следует всегда помнить о погрешностях.

Коэффициенты и получаются у нас порядка исходных координат, коэффициент — уже порядка квадрата от них. Это уже может быть достаточно большими числами, а, например, при пересечении прямых они станут ещё больше, что может привести к большим ошибкам округления уже при исходных координатах порядка .

Поэтому при работе с вещественными числами желательно производить так называемую нормировку прямой: а именно, делать коэффициенты такими, чтобы . Для этого надо вычислить число :

и разделить все три коэффициента , , на него.

Тем самым, порядок коэффициентов и уже не будет зависеть от порядка входных координат, а коэффициент будет того же порядка, что и входные координаты. На практике это приводит к значительному улучшению точности вычислений.

Наконец, упомянем о сравнении прямых — ведь после такой нормировки для одной и той же прямой могут получаться только две тройки коэффициентов: с точностью до умножения на . Соответственно, если мы произведём дополнительную нормировку с учётом знака (если или , то умножать на ), то получающиеся коэффициенты будут уникальными.

И подробно разберем особый вид уравнения прямой – . Начнем с вида уравнения прямой в отрезках и приведем пример. После этого остановимся на построении прямой линии, которая задана уравнением прямой в отрезках. В заключении покажем, как осуществляется переход от полного общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках.

Навигация по странице.

Уравнение прямой в отрезках – описание и пример.

Пусть на плоскости зафиксирована Oxy .

Уравнение прямой в отрезках на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy имеет вид , где a и b - некоторые отличные от нуля действительные числа.

Уравнение прямой в отрезках не случайно получило такое название - абсолютные величины чисел a и b равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях Ox и Oy , считая от начала координат.

Поясним этот момент. Мы знаем, что координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению этой прямой. Тогда отчетливо видно, что прямая, заданная уравнением прямой в отрезках, проходит через точки и , так как и . А точки и как раз расположены на координатных осях Ox и Oy соответственно и удаленны от начала координат на a и b единиц. Знаки чисел a и b указывают направление, в котором следует откладывать отрезки. Знак «+» означает, что отрезок откладывается в положительном направлении координатной оси, знак «-» означает обратное.

Изобразим схематический чертеж, поясняющий все вышесказанное. На нем показано расположение прямых относительно фиксированной прямоугольной системы координат Oxy в зависимости от значений чисел a и b в уравнении прямой в отрезках.

Теперь стало понятно, что уравнение прямой в отрезках позволяет легко производить построение этой прямой линии в прямоугольной системе координат Oxy . Чтобы построить прямую линию, которая задана уравнением прямой в отрезках вида , следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки и , после чего соединить их прямой линией с помощью линейки.

Приведем пример.

Пример.

Постройте прямую линию, заданную уравнением прямой в отрезках вида .

Решение.

По заданному уравнению прямой в отрезках видно, что прямая проходит через точки . Отмечаем их и соединяем прямой линией.

Приведение общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках.

При решении некоторых задач, связанных с прямой на плоскости, удобно работать с уравнением прямой в отрезках. Однако существуют другие виды уравнений, задающих прямую на плоскости. Поэтому приходится осуществлять переход от заданного уравнения прямой к уравнению этой прямой в отрезках.

В этом пункте мы покажем, как получить уравнение прямой в отрезках, если дано полное общее уравнение прямой .

Пусть нам известно полное общее уравнение прямой на плоскости . Так как А , В и С не равны нулю, то можно перенести число С в правую часть равенства, разделить обе части полученного равенства на –С , а коэффициенты при x и y отправить в знаменатели:
.

(В последнем переходе мы пользовались равенством ).

Так мы от общего уравнения прямой перешли к уравнению прямой в отрезках , где .

Пример.

Прямая в прямоугольной системе координат Oxy задана уравнением . Напишите уравнение этой прямой в отрезках.

Решение.

Перенесем одну вторую в правую часть заданного равенства: . Теперь разделим на обе части полученного равенства: . Осталось преобразовать полученное равенство к нужному виду: . Так мы получили требуемое уравнение прямой в отрезках.

Ответ:

Если прямую определяет

Уравнение прямой вида , где a и b – некоторые действительные числа отличные от нуля, называется уравнением прямой в отрезках . Это название не случайно, так как абсолютные величины чисел а и b равны длинам отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат). Таким образом, уравнение прямой в отрезках позволяет легко строить эту прямую на чертеже. Для этого следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки с координатами и , и с помощью линейки соединить их прямой линией.

Для примера построим прямую линию, заданную уравнением в отрезках вида . Отмечаем точки и соединяем их.

Детальную информацию об этом виде уравнения прямой на плоскости Вы можете получить в статье уравнение прямой в отрезках.

К началу страницы

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Алгебра и аналитическая геометрия. Понятие матрица, операции над матрицами и их свойства

Понятие матрица операции над матрицами и их свойства.. матрица это прямоугольная таблица составленная из чисел которые нельзя.. а сложение матриц поэлементная операция..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Определение дифференцируемости
Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция называется дифференцируемой в некоторой точке, если она имеет в этой точке конечную производную, и

Правило дифференцирования
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной
Углом наклона прямой y = kx+b называют угол, отсчитываемый от полож

Геометрический смысл производной функции в точке
Рассмотрим секущую АВ графика функции y = f(x) такую, что точки А и В имеют соответственно координаты

Решение
Функция определена для всех действительных чисел. Так как (-1; -3) – точка касания, то

Необходимые условия экстремума и достаточные условия экстремума
Определение возрастающей функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых

Достаточные признаки экстремума функции
Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума. Хотя самым распространенным и удобным является первый из них.

Основные свойства определенного интеграла. Свойство 1. Производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирован

Формула Ньютона-Лейбница (с доказательством)
Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо рав

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим

Xcosj + ysinj - p = 0 –

нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

уравнение этой прямой в отрезках:

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

нормальное уравнение прямой:

; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.

Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 .

Уравнение прямой имеет вид: , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 не подходит по условию задачи.

Итого: или х + у – 4 = 0.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

Уравнение прямой имеет вид: , где х 1 = у 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку

Перпендикулярно данной прямой.

Определение. Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

Угол между прямыми на плоскости.

Определение. Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как

Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 .

Две прямые перпендикулярны, если k 1 = -1/k 2 .

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А 1 = lА, В 1 = lВ. Если еще и С 1 = lС, то прямые совпадают.

Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

Доказательство. Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1:

Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tgj = ; j = p/4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Кривые второго порядка.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах 2 + 2Вху + Су 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1) - уравнение эллипса.

2) - уравнение “мнимого” эллипса.

3) - уравнение гиперболы.

4) a 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

5) y 2 = 2px – уравнение параболы.

6) y 2 – a 2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

7) y 2 + a 2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

8) y 2 = 0 – пара совпадающих прямых.

9) (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – уравнение окружности.

Окружность.

В окружности (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 центр имеет координаты (a; b).

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

2x 2 + 2y 2 – 8x + 5y – 4 = 0.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 –4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.

Эллипс.

Определение. Эллипсом называется кривая, заданная уравнением .

Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

F 1 , F 2 – фокусы. F 1 = (c; 0); F 2 (-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a 2 = b 2 + c 2 .

Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r 1 + r 2 = 2 (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r 1 + r 2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r 1 + r 2 – постоянная величина, то, приравнивая, получаем:

a 2 = b 2 + c 2

r 1 + r 2 = 2a.

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом .

Т.к. с < a, то е < 1.

Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k 2 = 1 – e 2 .

Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки М(х 1 , у 1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения :

R 1 = a – ex, r 2 = a + ex.

Доказательство. Выше было показано, что r 1 + r 2 = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Аналогично доказывается, что r 2 = a + ex. Теорема доказана.

С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами . Их уравнения:

X = a/e; x = -a/e.

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:

1) Координаты нижней вершины: x = 0; y 2 = 16; y = -4.

2) Координаты левого фокуса: c 2 = a 2 – b 2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F 2 (-3; 0).

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2c = , таким образом, a 2 – b 2 = c 2 = ½

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =

Гипербола.

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

По определению ïr 1 – r 2 ï= 2a. F 1 , F 2 – фокусы гиперболы. F 1 F 2 = 2c.

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:

обозначим с 2 – а 2 = b 2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)

Получили каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с 2 – а 2 = b 2:

Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.

Из очевидных геометрических соотношений можно записать:

a/e + d = x, следовательно d = x – a/e.

(x – c) 2 + y 2 = r 2

Из канонического уравнения: , с учетом b 2 = c 2 – a 2:

Тогда т.к. с/a = e, то r = ex – a.

Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема доказана.

Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

Для эллипса: c 2 = a 2 – b 2 .

Для гиперболы: c 2 = a 2 + b 2 .

Уравнение гиперболы: .

Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;

MF 2 = y 2 + (x – p/2) 2

(x + p/2) 2 = y 2 + (x – p/2) 2

x 2 +xp + p 2 /4 = y 2 + x 2 – xp + p 2 /4

Уравнение директрисы: x = -p/2.

Пример. На параболе у 2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p/2 = 4; следовательно:

x = 2; y 2 = 16; y = ±4. Искомые точки: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:

Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и полярной системы координат: ;

Получили каноническое уравнение гиперболы. Из уравнения видно, что гипербола сдвинута вдоль оси Ох на 5 влево, большая полуось а равна 4, меньшая полуось b равна 3, откуда получаем c 2 = a 2 + b 2 ; c = 5; e = c/a = 5/4.

Фокусы F 1 (-10; 0), F 2 (0; 0).

Построим график этой гиперболы.

Задание 1 #6713

Уровень задания: Равен ЕГЭ

\[\begin{cases} \sqrt{(x+2)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-a)^2}=\sqrt{4+a^2}\\ 5y=|6-a^2| \end{cases}\]

имеет единственное решение.

(Задача от подписчиков)

Рассмотрим второе уравнение системы: оно задает семейство прямых \(y=0,2|6-a^2|\) , параллельных оси \(Ox\) и лежащих в верхней полуплоскости (включая ось \(Ox\) ) при любом значении параметра \(a\) (т.к. модуль всегда неотрицателен).

Рассмотрим первое уравнение. Пусть \(A(x;y)\) , \(B(-2;0)\) , \(C(0;a)\) – точки. Тогда \(BA=\sqrt{(x+2)^2+y^2}\) , \(AC=\sqrt{x^2+(y-a)^2}\) , \(BC=\sqrt{4+a^2}\) .
Таким образом, первое уравнение системы выглядит так: \(BA+AC=BC\) . Значит, оно задает геометрическое место точек \(A\) , лежащих на отрезке \(BC\) .

Для того, чтобы данная система имела единственное решение, прямая \(y=0,2|6-a^2|\) должна пересекать отрезок \(BC\) в одной точке.

1) Пусть \(a<0\) , то есть точка \(C\) лежит на отрицательной части оси \(Oy\) . Единственный случай, когда прямая \(y=0,2|6-a^2|\) будет иметь с отрезком одну общую точку, – когда прямая \(y=0,2|6-a^2|\) будет проходить через точку \(B\) , то есть совпадать с осью абсцисс. Отсюда \(0,2|6-a^2|=0\) , следовательно, \(a=\pm \sqrt6\) . Так как \(a<0\) , то \(a=-\sqrt6\) .

2) Пусть \(a=0\) . Тогда отрезок \(BC\) лежит на оси абсцисс, прямая \(y=0,2|6-a^2|\) – в верхней полуплоскости, и общих точек у них нет.

3) Пусть \(a>0\) . Тогда \(C\) лежит на положительном направлении оси ординат.

Прямая \(y=0,2|6-a^2|\) пересекает ось ординат в точке \(D\) . Для того, чтобы прямая пересекала отрезок \(BC\) , нужно, чтобы точка \(C\) находилась не ниже точки \(D\) , то есть \

Решим данное неравенство. Т.к. \(a>0\) , то имеем: \[|6-a^2|\leqslant 5a\quad\Leftrightarrow\quad -5a\leqslant 6-a^2\leqslant 5a\quad\Leftrightarrow\quad 1\leqslant a\leqslant 6.\]

Ответ:

\(a\in\{-\sqrt6\}\cup\)

Задание 2 #3978

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых система \[\begin{cases} y^2-(2a+1)y+a^2+a-2=0\\ \sqrt{(x-a)^2+y^2}+\sqrt{(x-a)^2+(y-3)^2}=3 \end{cases}\] имеет ровно одно решение.

Преобразуем первое уравнение системы. Заметим, что \(a^2+a-2=(a+2)(a-1)\) . Заметим также, что \(a+2+a-1=2a+1\) , следовательно, по теореме Виета корнями этого уравнения будут \(y=a+2\) и \(y=a-1\) . Значит, графиком первого уравнения будут две прямые \(y=a+2\) и \(y=a-1\) , параллельные оси абсцисс.

Преобразуем второе уравнение. Рассмотрим точки \(A(a;0)\) , \(B(a;3)\) , \(C(x;y)\) . Тогда \(AB=\sqrt{(a-a)^2+(0-3)^2}=3\) , \(AC=\sqrt{(x-a)^2+y^2}\) и \(CB=\sqrt{(x-a)^2+(y-3)^2}\) . Следовательно, второе уравнение системы можно переписать в виде \(AC+CB=AB\) . Значит, оно задает множество точек \(C\) , которые лежат на отрезке \(AB\) . Заметим, что так как у точек \(A\) и \(B\) абсцисса одинаковая, то отрезок \(AB\) перпендикулярен оси абсцисс.

Схематично графики обоих уравнений выглядят так:

Чтобы система имела единственное решение, нужно, чтобы зеленый график пересекал отрезок \(AB\) в одной точке. Следовательно, либо прямая \(y=a+2\) пересекает отрезок, а прямая \(y=a-1\) его не пересекает, либо наоборот: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} 0\leqslant a+2\leqslant 3\\ a-1<0 \end{cases} \\ &\begin{cases} 0\leqslant a-1\leqslant 3\\ a+2>3\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad a\in [-2;1)\cup(1;4]\]

Ответ:

\([-2;1)\cup(1;4]\)

Задание 3 #3979

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение параметра \(a\) , при котором уравнение \[\sqrt{(x+8)^2+(x+2)^2}+\sqrt{(x+14)^2+(x+3)^2}=13a\] имеет хотя бы один корень.

1 способ.

Рассмотрим \(f(x)=\sqrt{(x+8)^2+(x+2)^2}+\sqrt{(x+14)^2+(x+3)^2}\) .
Тогда уравнение примет вид \(f(x)=13a\) . Тогда нам нужно найти наименьшее значение \(a\) , при котором прямая \(y=13a\) будет пересекать график \(y=f(x)\) хотя бы в одной точке. Исследуем \(f(x)\) . Для этого найдем сначала ее производную: \[\begin{aligned} &f"(x)=\dfrac{2(x+8)+2(x+2)}{2\sqrt{(x+8)^2+(x+2)^2}}+ \dfrac{2(x+14)+2(x+3)}{2\sqrt{(x+14)^2+(x+3)^2}}=\\ &=\dfrac{2x+10}{\sqrt{(x+8)^2+(x+2)^2}}+ \dfrac{2x+17}{\sqrt{(x+14)^2+(x+3)^2}} \end{aligned}\] Найдем нули производной: \[\begin{aligned} &\dfrac{2x+10}{\sqrt{(x+8)^2+(x+2)^2}}+ \dfrac{2x+17}{\sqrt{(x+14)^2+(x+3)^2}}=0 \quad\Leftrightarrow\\ &\sqrt{\dfrac{(x+14)^2+(x+3)^2}{(x+8)^2+(x+2)^2}}=-\dfrac{2x+17}{2x+10} \quad\Leftrightarrow\\ &\begin{cases} \dfrac{(x+14)^2+(x+3)^2}{(x+8)^2+(x+2)^2}=\left(\dfrac{2x+17}{2x+10}\right)^2 \qquad (*)\\ \dfrac{2x+17}{2x+10}\leqslant 0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\\ &\begin{cases} 85x^2+598x+424=0\\ x\in \left[-8,5; -5\right) \end{cases} \quad\Leftrightarrow\\ & x=-\dfrac{106}{17} \end{aligned}\]

Определим знаки производной:

Следовательно, схематично график функции выглядит так:

Следовательно, наименьшее значение параметра \(a\) – когда прямая \(y=13a\) проходит через точку экстремума функции \(f(x)\) : \

2 способ.

Заметим, что в первом способе было очень много вычислений и на самом деле нам повезло, что при решении уравнения \((*)\) слагаемые с \(x^4\) и \(x^3\) взаимно уничтожились и мы пришли к квадратному уравнению. А что делать, если числа так хорошо не подобраны и мы не получим в конечном итоге “красивое” уравнение, которое сможем решить?
Давайте рассмотрим второй способ решения подобных уравнений.

Рассмотрим три точки: \(A(x;x)\) , \(B(-8; -2)\) , \(C(-14; -3)\) . Тогда уравнение примет вид \ Если нам нужно найти наименьшее значение параметра \(a\) , при котором уравнение имеет хотя бы одно решение, то нам нужно найти точку \(A\) , при которой сумма длин отрезков \(AB\) и \(AC\) будет наименьшей.
Где располагается точка \(A\) ? Эта точка “бегает” по прямой \(y=x\) . Графически это выглядит так:

Здесь мы будем использовать классическую идею планиметрии. Отразим симметрично точку \(B\) относительно прямой \(y=x\) (то есть проведем \(BB"\perp y=x\) , где \(BH=HB"\) :

Тогда \(AB+AC=AB"+AC\) . Заметим, что по правилу треугольника, если точка \(A\) не лежит на отрезке \(B"C\) , то \(AB"+AC>B"C\) . Следовательно, наименьшая сумма длин \(AB"+AC\) будет достигаться тогда, когда \(A\in B"C\) .

Таким образом, мы идейно поняли, где должна находиться точка \(A\) . Теперь осталось найти ее координаты.

1) Найдем координаты точки \(B"\) .
Для этого сначала найдем уравнение прямой \(BB"\) . Так как \(BB"\perp y=x\) , то если уравнение прямой \(BB"\) имеет вид \(y=kx+b\) , то \(k\cdot 1=-1\) (произведение угловых коэффициентов двух взаимно перпендикулярных прямых равно \(-1\) ). Следовательно, \(y=-x+b\) .
Для того, чтобы найти число \(b\) , нужно подставить координаты точки \(B\) в уравнение прямой: \[-2=-1\cdot (-8)+b\quad\Leftrightarrow\quad b=-10\] Следовательно, уравнение прямой имеет вид \(y=-x-10\) .
Найдем координаты точки \(H\) – это точка пересечения прямых \(y=x\) и \(y=-x-10\) : \[\begin{cases} y=x\\ y=-x-10\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x=y=-5\quad\Rightarrow\quad H(-5;-5)\] \(H\) – середина отрезка \(BB"\) . Значит, если координаты точки \(B"\) равны \((x_0;y_0)\) , то \[\begin{cases} -5=\dfrac{-8+x_0}2\\ -5=\dfrac{-2+y_0}2\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x_0=-2\\ y_0=-8\end{cases}\] Таким образом, \(B"(-2;-8)\) .

2) Найдем уравнение прямой \(B"C\) . Если уравнение этой прямой в общем виде выглядит как \(y=mx+n\) , то \[\begin{cases} -8=-2m+n\\ -3=-14m+n\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} m=-\dfrac5{12}\\ n=-\dfrac{53}6\end{cases}\] Следовательно, \(y=-\frac5{12}x-\frac{53}6\) . Теперь можно найти координаты точки \(A\) – это точка пересечения прямых \(y=x\) и \(B"C\) : \[\begin{cases} y=x\\ y=-\frac5{12}x-\frac{53}6\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x=y=-\dfrac{106}{17}\]

3) Теперь можно найти значение параметра \(a\) . \

Чем хорош этот способ? Во-первых, он более изящный. Во-вторых, в ходе решения мы сталкивались только с линейными уравнениями, которые решать намного проще.

Ответ:

\(a=1\)

Задание 4 #3909

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при которых система \[\begin{cases} x^2+|x^2-2x|=y^2+|y^2-2y|\\ x+y=a\end{cases}\]

имеет более двух решений.

Изобразим график первого уравнения. Для этого рассмотрим случаи:

1) \(x^2-2x\geqslant 0\) , \(y^2-2y\geqslant 0\) . Тогда уравнение примет вид \ Тогда в этом случае получаем такой график:

2) \(x^2-2x\leqslant 0\) , \(y^2-2y\leqslant 0\) . Тогда: \ Значит, график для первых двух случаев будет выглядеть уже так:

3) \(x^2-2x\geqslant 0\) , \(y^2-2y\leqslant 0\) . Тогда уравнение примет вид: \ Следовательно, добавится еще:

4) \(x^2-2x\leqslant 0\) , \(y^2-2y\geqslant 0\) . Тогда имеем: \ Графиком будет являться такая же парабола, как и в п.3, только с поменявшимися осями:

Графиком \(x+y=a\) при каждом фиксированном \(a\) является прямая \(y=-x+a\) , то есть прямая, параллельная \(y=-x\) (а также параллельная части прямой \(y=1-x\) из п. 1).
Для того, чтобы система имела более двух решений, нужно, чтобы прямая \(y=-x+a\) находилась в положениях от (1) (не включительно) до (2) (включительно):

Действительно, когда прямая находится в положении (2), то система будет иметь бесконечное множество решений (а именно, часть прямой \(y=1-x\) при \(x\in (-\infty;-1]\cup\]