Таблица направление движения маятника сила упругости скорость. A. Пружинный маятник. Энергия гармонических колебаний

Частота и период колебаний пружинного маятника

Примеры задач на период колебания пружинного маятника

Свободные колебания. Математический маятник

Превращения энергии при свободных механических колебаниях

Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания

Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника .

Следовательно,

При горизонтальном расположении системы пружина-груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x 0 , равную

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний . Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω 0 или период T . Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда x m и начальная фаза φ 0 , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δl и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то x m = Δl , φ 0 = 0.

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость ± υ 0 , то ,

Таким образом, амплитуда x m свободных колебаний и его начальная фаза φ 0 определяются начальными условиями .

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол θ возникает момент сил M упр упругой деформации кручения:

где I = I C - момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, ε - угловое ускорение.

По аналогии с грузом на пружине можно получить:

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити . При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести F τ = -mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l , то его угловое смещение будет равно φ = x / l . Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:

10.4. Закон сохранения энергии при гармонических колебаниях

10.4.1. Сохранение энергии при механических гармонических колебаниях

Сохранение энергии при колебаниях математического маятника

При гармонических колебаниях полная механическая энергия системы сохраняется (остается постоянной).

Полная механическая энергия математического маятника

E = W k + W p ,

где W k - кинетическая энергия, W k = = mv 2 /2; W p - потенциальная энергия, W p = mgh ; m - масса груза; g - модуль ускорения свободного падения; v - модуль скорости груза; h - высота подъема груза над положением равновесия (рис. 10.15).

При гармонических колебаниях математический маятник проходит ряд последовательных состояний, поэтому целесообразно рассмотреть энергию математического маятника в трех положениях (см. рис. 10.15):

Рис. 10.15

1) в положении равновесия

потенциальная энергия равна нулю; полная энергия совпадает с максимальной кинетической энергией:

E = W k max ;

2) в крайнем положении (2 ) тело поднято над исходным уровнем на максимальную высоту h max , поэтому потенциальная энергия также максимальна:

W p max = m g h max ;

кинетическая энергия равна нулю; полная энергия совпадает с максимальной потенциальной энергией:

E = W p max ;

3) в промежуточном положении (3 ) тело обладает мгновенной скоростью v и поднято над исходным уровнем на некоторую высоту h , поэтому полная энергия представляет собой сумму

E = m v 2 2 + m g h ,

где mv 2 /2 - кинетическая энергия; mgh - потенциальная энергия; m - масса груза; g - модуль ускорения свободного падения; v - модуль скорости груза; h - высота подъема груза над положением равновесия.

При гармонических колебаниях математического маятника полная механическая энергия сохраняется:

E = const.

Значения полной энергии математического маятника в трех его положениях отражены в табл. 10.1.

№	Положение	W p	W k	E = W p + W k
1	Равновесие	0	m v max 2 / 2	m v max 2 / 2
2	Крайнее	mgh max	0	mgh max
3	Промежуточное (мгновенное)	mgh	mv 2 /2	mv 2 /2 + mgh

Значения полной механической энергии, представленные в последнем столбце табл. 10.1, имеют равные значения для любых положений маятника, что является математическим выражением :

m v max 2 2 = m g h max ;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h ;

m g h max = m v 2 2 + m g h ,

где m - масса груза; g - модуль ускорения свободного падения; v - модуль мгновенной скорости груза в положении 3 ; h - высота подъема груза над положением равновесия в положении 3 ; v max - модуль максимальной скорости груза в положении 1 ; h max - максимальная высота подъема груза над положением равновесия в положении 2 .

Угол отклонения нити математического маятника от вертикали (рис. 10.15) определяется выражением

cos α = l − h l = 1 − h l ,

где l - длина нити; h - высота подъема груза над положением равновесия.

Максимальный угол отклонения α max определяется максимальной высотой подъема груза над положением равновесия h max:

cos α max = 1 − h max l .

Пример 11. Период малых колебаний математического маятника равен 0,9 с. На какой максимальный угол от вертикали будет отклоняться нить, если, проходя положение равновесия, шарик движется со скоростью, равной 1,5 м/с? Трение в системе отсутствует.

Решение . На рисунке показаны два положения математического маятника:

положение равновесия 1 (характеризуется максимальной скоростью шарика v max);
крайнее положение 2 (характеризуется максимальной высотой подъема шарика h max над положением равновесия).

Искомый угол определяется равенством

cos α max = l − h max l = 1 − h max l ,

где l - длина нити маятника.

Максимальную высоту подъема шарика маятника над положением равновесия найдем из закона сохранения полной механической энергии.

Полная энергия маятника в положении равновесия и в крайнем положении определяется следующими формулами:

в положении равновесия -

E 1 = m v max 2 2 ,

где m - масса шарика маятника; v max - модуль скорости шарика в положении равновесия (максимальная скорость), v max = 1,5 м/с;

в крайнем положении -

E 2 = mgh max ,

где g - модуль ускорения свободного падения; h max - максимальная высота подъема шарика над положением равновесия.

Закон сохранения полной механической энергии:

m v max 2 2 = m g h max .

Выразим отсюда максимальную высоту подъема шарика над положением равновесия:

h max = v max 2 2 g .

Длину нити определим из формулы для периода колебаний математического маятника

T = 2 π l g ,

т.е. длина нити

l = T 2 g 4 π 2 .

Подставим h max и l в выражение для косинуса искомого угла:

cos α max = 1 − 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

и произведем вычисление с учетом приблизительного равенства π 2 = 10:

cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1,5) 2 10 2 ⋅ (0,9) 2 = 0,5 .

Отсюда следует, что максимальный угол отклонения составляет 60°.

Строго говоря, при угле 60° колебания шарика не являются малыми и пользоваться стандартной формулой для периода колебаний математического маятника неправомерно.

Сохранение энергии при колебаниях пружинного маятника

Полная механическая энергия пружинного маятника складывается из кинетической энергии и потенциальной энергии:

E = W k + W p ,

где W k - кинетическая энергия, W k = mv 2 /2; W p - потенциальная энергия, W p = k (Δx ) 2 /2; m - масса груза; v - модуль скорости груза; k - коэффициент жесткости (упругости) пружины; Δx - деформация (растяжение или сжатие) пружины (рис. 10.16).

В Международной системе единиц энергия механической колебательной системы измеряется в джоулях (1 Дж).

При гармонических колебаниях пружинный маятник проходит ряд последовательных состояний, поэтому целесообразно рассмотреть энергию пружинного маятника в трех положениях (см. рис. 10.16):

1) в положении равновесия (1 ) скорость тела имеет максимальное значение v max , поэтому кинетическая энергия также максимальна:

W k max = m v max 2 2 ;

потенциальная энергия пружины равна нулю, так как пружина не деформирована; полная энергия совпадает с максимальной кинетической энергией:

E = W k max ;

2) в крайнем положении (2 ) пружина имеет максимальную деформацию (Δx max), поэтому потенциальная энергия также имеет максимальное значение:

W p max = k (Δ x max) 2 2 ;

кинетическая энергия тела равна нулю; полная энергия совпадает с максимальной потенциальной энергией:

E = W p max ;

3) в промежуточном положении (3 ) тело обладает мгновенной скоростью v , пружина имеет в этот момент некоторую деформацию (Δx ), поэтому полная энергия представляет собой сумму

E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,

где mv 2 /2 - кинетическая энергия; k (Δx ) 2 /2 - потенциальная энергия; m - масса груза; v - модуль скорости груза; k - коэффициент жесткости (упругости) пружины; Δx - деформация (растяжение или сжатие) пружины.

При смещении груза пружинного маятника от положения равновесия на него действует возвращающая сила , проекция которой на направление движения маятника определяется формулой

F x = −kx ,

где x - смещение груза пружинного маятника от положения равновесия, x = ∆x , ∆x - деформация пружины; k - коэффициент жесткости (упругости) пружины маятника.

При гармонических колебаниях пружинного маятника полная механическая энергия сохраняется:

E = const.

Значения полной энергии пружинного маятника в трех его положениях отражены в табл. 10.2.

№	Положение	W p	W k	E = W p + W k
1	Равновесие	0	m v max 2 / 2	m v max 2 / 2
2	Крайнее	k (Δx max) 2 /2	0	k (Δx max) 2 /2
3	Промежуточное (мгновенное)	k (Δx ) 2 /2	mv 2 /2	mv 2 /2 + k (Δx ) 2 /2

Значения полной механической энергии, представленные в последнем столбце таблицы, имеют равные значения для любых положений маятника, что является математическим выражением закона сохранения полной механической энергии :

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2 ;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,

где m - масса груза; v - модуль мгновенной скорости груза в положении 3 ; Δx - деформация (растяжение или сжатие) пружины в положении 3 ; v max - модуль максимальной скорости груза в положении 1 ; Δx max - максимальная деформация (растяжение или сжатие) пружины в положении 2 .

Пример 12. Пружинный маятник совершает гармонические колебания. Во сколько раз его кинетическая энергия больше потенциальной в тот момент, когда смещение тела из положения равновесия составляет четверть амплитуды?

Решение . Сравним два положения пружинного маятника:

крайнее положение 1 (характеризуется максимальным смещением груза маятника от положения равновесия x max);
промежуточное положение 2 (характеризуется промежуточными значениями смещения от положения равновесия x и скорости v →).

Полная энергия маятника в крайнем и промежуточном положениях определяется следующими формулами:

в крайнем положении -

E 1 = k (Δ x max) 2 2 ,

где k - коэффициент жесткости (упругости) пружины; ∆x max - амплитуда колебаний (максимальное смещение от положения равновесия), ∆x max = A ;

в промежуточном положении -

E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 ,

где m - масса груза маятника; ∆x - смещение груза от положения равновесия, ∆x = A /4.

Закон сохранения полной механической энергии для пружинного маятника имеет следующий вид:

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 .

Разделим обе части записанного равенства на k (∆x ) 2 /2:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,

где W k - кинетическая энергия маятника в промежуточном положении, W k = mv 2 /2; W p - потенциальная энергия маятника в промежуточном положении, W p = k (∆x ) 2 /2.

Выразим из уравнения искомое отношение энергий:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 − 1

и рассчитаем его значение:

W k W p = (A A / 4) 2 − 1 = 16 − 1 = 15 .

В указанный момент времени отношение кинетической и потенциальной энергий маятника равно 15.

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими .

Таким образом, груз некоторой массы m , прикрепленный к пружине жесткости k , второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором .

Круговая частота ω 0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона :

Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x , а

Только в случае малых колебаний , когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором, т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15-20°; при этом величина отличается от не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде

Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:

и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид (см. §1.23)

Здесь ω 0 - собственная частота малых колебаний физического маятника .

Следовательно,

Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде

Окончательно для круговой частоты ω 0 свободных колебаний физического маятника получается выражение:

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная энергия - это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника - это энергия в поле тяготения Земли.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по закону инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.

Для груза на пружине (см. §2.2):

В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими (рис. 2.4.2).

Скорость затухания колебаний зависит от величины сил трения. Интервал времени τ, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раз, называется временем затухания .

Частота свободных колебаний зависит от скорости затухания колебаний. При возрастании сил трения собственная частота уменьшается. Однако, изменение собственной частоты становится заметным лишь при достаточно больших силах трения, когда собственные колебания быстро затухают.

Важной характеристикой колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, является добротность Q . Этот параметр определяется как число N полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ, умноженное на π:

Таким образом, добротность характеризует относительную убыль энергии колебательной системы из-за наличия трения на интервале времени, равном одному периоду колебаний.

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными .

Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω 0 .

Если свободные колебания происходят на частоте ω 0 , которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы .

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса - вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω 0 . Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы.

Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. 2.5.1). Внешняя сила приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. 2.5.1) конец пружины перемещаться по закону

Если левый конец пружины смещен на расстояние y , а правый - на расстояние x от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины Δl равно:

В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части - это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (x = 0). Второе слагаемое - внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой .

Уравнению, выражающему второй закон Ньютона для тела на пружине при наличии внешнего периодического воздействия, можно придать строгую математическую форму, если учесть связь между ускорением тела и его координатой: Тогда запишется в виде

Уравнение (**) не учитывает действия сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (*) (см. §2.2) уравнение вынужденных колебаний (**) содержит две частоты - частоту ω 0 свободных колебаний и частоту ω вынуждающей силы.

Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону

x (t ) = x m cos (ωt + θ).

Амплитуда вынужденных колебаний x m и начальная фаза θ зависят от соотношения частот ω 0 и ω и от амплитуды y m внешней силы.

На очень низких частотах, когда ω << ω 0 , движение тела массой m , прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x (t ) = y (t ), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при ω << ω 0 стремится к нулю.

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω 0 , возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом . Зависимость амплитуды x m вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис. 2.5.2).

При резонансе амплитуда x m колебания груза может во много раз превосходить амплитуду y m колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.

У колебательных систем с не очень высокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.

Вынужденные колебания - это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными , а процесс незатухающих колебаний в таких системах - автоколебаниями . В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента - колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).

Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 2.5.3 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.

Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 2.5.4). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник - балансиром - маховичком, скрепленным со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир.

Источником энергии - поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.

Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.

Рисунок 2.5.4. Часовой механизм с маятником.

Цель работы . Ознакомиться с основными характеристиками незатухающих и затухающих свободных механических колебаний.

Задача . Определить период собственных колебаний пружинного маятника; проверить линейность зависимости квадрата периода от массы; определить жесткость пружины; определить период затухающих колебаний и логарифмический декремент затухания пружинного маятника.

Приборы и принадлежности . Штатив со шкалой, пружина, набор грузов различной массы, сосуд с водой, секундомер.

1. Свободные колебания пружинного маятника. Общие сведения

Колебаниями называются процессы, в которых периодически изменяется одна или несколько физических величин, описывающих эти процессы. Колебания могут быть описаны различными периодическими функциями времени. Простейшими колебаниями являются гармонические колебания – такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, смещение груза на пружине) изменяется со временем по закону косинуса или синуса. Колебания, возникающие после действия на систему внешней кратковременной силы, называются свободными.

Если груз вывести из положения равновесия, отклонив на величину x , то сила упругости возрастает: F упр = – kx 2= – k (x 1 + x ). Дойдя до положения равновесия, груз будет обладать отличной от нуля скоростью и пройдет положение равновесия по инерции. По мере дальнейшего движения будет увеличиваться отклонение от положения равновесия, что приведет к возрастанию силы упругости, и процесс повторится в обратном направлении. Таким образом, колебательное движение системы обусловлено двумя причинами: 1) стремлением тела вернуться в положении равновесия и 2) инерцией, не позволяющей телу мгновенно остановиться в положении равновесия. В отсутствии сил трения колебания продолжались бы сколь угодно долго. Наличие силы трения приводит к тому, что часть энергии колебаний переходит во внутреннюю энергию и колебания постепенно затухают. Такие колебания называются затухающими.

Незатухающие свободные колебания

Сначала рассмотрим колебания пружинного маятника, на который не действуют силы трения – незатухающие свободные колебания. Согласно второму закону Ньютона c учетом знаков проекций на ось X

Из условия равновесия смещение, вызываемое силой тяжести: . Подставляя в уравнение (1), получим: Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">дифференциальное уравнение

https://pandia.ru/text/77/494/images/image008_28.gif" width="152" height="25 src=">. (3)

Данное уравнение называется уравнением гармонических колебаний . Наибольшее отклонение груза от положения равновесия А 0 называется амплитудой колебаний . Величина , стоящая в аргументе косинуса, называется фазой колебания . Постоянная φ0 представляет собой значение фазы в начальный момент времени (t = 0) и называется начальной фазой колебаний . Величина

есть круговая или циклическая частота собственных колебаний , связанная с периодом колебаний Т соотношением https://pandia.ru/text/77/494/images/image012_17.gif" width="125" height="55">. (5)

Затухающие колебания

Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника при наличии силы трения (затухающие колебания). В простейшем и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае сила трения пропорциональна скорости υ движения:

F тр = – rυ , (6)

где r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус показывает, что сила трения и скорость имеют противоположные направления. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось Х при наличии упругой силы и силы трения

ma = – kx – rυ . (7)

Данное дифференциальное уравнение с учетом υ = dx / dt можно записать

https://pandia.ru/text/77/494/images/image014_12.gif" width="59" height="48 src="> – коэффициент затухания ; – циклическая частота свободных незатухающих колебаний данной колебательной системы, т. е. при отсутствии потерь энергии (β = 0). Уравнение (8) называют дифференциальным уравнением затухающих колебаний .

Чтобы получить зависимость смещения x от времени t , необходимо решить дифференциальное уравнение (8)..gif" width="172" height="27">, (9)

где А 0 и φ0 – начальная амплитуда и начальная фаза колебаний;
– циклическая частота затухающих колебаний при ω >> https://pandia.ru/text/77/494/images/image019_12.gif" width="96" height="27 src=">. (10)

На графике функции (9), рис. 2, пунктирными линиями показано изменение амплитуды (10) затухающих колебаний.

Рис. 2. Зависимость смещения х груза от времени t при наличии силы трения

Для количественной характеристики степени затухания колебаний вводят величину, равную отношению амплитуд, отличающихся на период, и называемую декрементом затухания :

. (11)

Часто используют натуральный логарифм этой величины. Такой параметр называется логарифмическим декрементом затухания :

Амплитуда уменьшается в n раз, то из уравнения (10) следует, что

Отсюда для логарифмического декремента получаем выражение

Если за время t " амплитуда уменьшается в е раз (е = 2,71 – основание натурального логарифма), то система успеет совершить число колебаний

Рис. 3. Схема установки

Установка состоит из штатива 1 с измерительной шкалой 2 . К штативу на пружине 3 подвешиваются грузы 4 различной массы. При изучении затухающих колебаний в задании 2 для усиления затухания используется кольцо 5 , которое помещается в прозрачный сосуд 6 с водой.

В задании 1 (выполняется без сосуда с водой и кольца) в первом приближении затуханием колебаний можно пренебречь и считать гармоническими. Как следует из формулы (5) для гармонических колебаний зависимость T 2 = f (m ) – линейная, из которой можно определить коэффициент жесткости пружины k по формуле

где – угловой коэффициент наклона прямой T 2 от m .

Задание 1. Определение зависимости периода собственных колебаний пружинного маятника от массы груза.

1. Определить период колебаний пружинного маятника при различных значениях массы груза m . Для этого с помощью секундомера для каждого значения m трижды измерить время t полных n колебаний (n ≥10) и по среднему значению времени https://pandia.ru/text/77/494/images/image030_6.gif" width="57 height=28" height="28">. Результаты занести в табл. 1.

2. По результатам измерений построить график зависимости квадрата периода T 2 от массы m . Из углового коэффициента графика определить жесткость пружины k по формуле (16).

Таблица 1

Результаты измерений для определения периода собственных колебаний

3. Дополнительное задание. Оценить случайную , полную и относительную εt ошибки измерения времени для значения массы m = 400 г.

Задание 2. Определение логарифмического декремента затухания пружинного маятника.

1. На пружину подвесить груз массой m = 400 г с кольцом и поместить в сосуд с водой, так чтобы кольцо полностью находилось в воде. Определить период затухающих колебаний для данного значения m по методу, изложенному в п. 1 задания 1. Измерения повторить три раза и результаты занести в левую часть табл. 2.

2. Вывести маятник из положения равновесия и, отметив по линейке его начальную амплитуду, измерить время t " , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза. Измерения произвести три раза. Результаты занести в правую часть табл. 2.

Таблица 2

Результаты измерений

для определения логарифмического декремента затухания

4. Контрольные вопросы и задания

1. Какие колебания называются гармоническими? Дайте определение их основных характеристик.

2. Какие колебания называются затухающими? Дайте определение их основных характеристик.

3. Поясните физический смысл логарифмического декремента затухания и коэффициента затухания.

4. Вывести зависимости от времени скорости и ускорения груза на пружине, совершающего гармонические колебания. Привести графики и проанализировать.

5. Вывести зависимости от времени кинетической, потенциальной и полной энергии для груза, колеблющегося на пружине. Привести графики и проанализировать.

6. Получить дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решение.

7. Построить графики гармонических колебаний с начальными фазами π/2 и π/3.

8. В каких пределах может изменяться логарифмический декремент затухания?

9. Привести дифференциальное уравнение затухающих колебаний пружинного маятника и его решение.

10. По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний? Являются ли затухающие колебания периодическими?

11. Какое движение называется апериодическим? При каких условиях оно наблюдается?

12. Что называется собственной частотой колебаний? Как она зависит от массы колеблющегося тела для пружинного маятника?

13. Почему частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний системы?

14. Подвешенный к пружине медный шарик совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый того же радиуса?

15. При каком значении логарифмического декремента затухания колебания затухают быстрее: при θ1 = 0,25 или θ2 = 0,5? Привести графики этих затухающих колебаний.

Библиографический список

1. И . Курс физики / . – 11-е изд. – М. : Академия, 2006. – 560 с.

2. В . Курс общей физики: в 3 т. / . – СПб. : Лань, 2008. – Т. 1. – 432 с.

3. С . Лабораторный практикум по физике / .
– М. : Высш. шк., 1980. – 359 с.

Рассмотрим простейшую систему, в которой возможна реализация механических колебаний. Допустим, что на упругой пружине, жесткость которой равна $k,$ подвешен груз массой $m$. Груз движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе. Массу пружины считаем малой в сравнении с массой груза.

Уравнение движения груза при таких колебаниях имеет вид:

\[\ddot{x}+{\omega }^2_0x=0\left(1\right),\]

где ${\omega }^2_0=\frac{k}{m}$ - циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ и $B$ - амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi)$ - фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ - начальные фазы колебаний.

Косинус (синус) - периодическая функция, смещение $x$ будет принимать одинаковые значения через определенные одинаковые промежутки времени, которые называют периодом колебаний. Обозначают период буквой T.

Еще одной величиной, характеризующей колебания является величина обратная периоду колебаний, ее называют частотой ($\nu $):

Период связан с циклической частотой колебаний как:

Зная, что для пружинного маятника ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, период колебаний его определим как:

Из выражения (5) мы видим, что период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза, находящегося на пружине и коэффициента упругости пружины, но не зависит от амплитуды колебаний (A). Такое свойство колебаний называют изохронностью. Изохронность выполняется до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях пружины закон Гука нарушается, при этом возникает зависимость колебаний от амплитуды. Отметим, что формула (5) для вычисления периода колебаний пружинного маятника справедлива при малых колебаниях.

Единицей измерения периода являются единицы времени, в Международной системе единиц это секунды:

\[\left=с.\]

Измерение периода колебаний

Измерение времени

уменьшения амплитуды в 2 раза

Пример 1

Задание. К упругой пружине прикрепили небольшой груз, при этом пружина растянулась на $\Delta x$=0,09 м. Каким будет период колебаний данного пружинного маятника, если его вывести из равновесия?

Решение. Сделаем рисунок.

Рассмотрим состояние равновесия пружинного маятника. Груз прикрепили, после этого пружина растянулась на величину $\Delta x$, маятник находится в состоянии равновесия. На груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости. Запишем второй закон Ньютона для состояния равновесия груза:

Запишем проекцию уравнения (1.1) на ось Y:

Так как груз по условию задачи небольшой, пружина растянулась не сильно, следовательно выполняется закон Гука, величину силы упругости найдем как:

Используя выражения (1.2) и (1.3) найдем отношение $\frac{m}{k}$:

Период колебаний пружинного маятника при малых колебаниях можно найти, используя выражение:

Заменяя отношение массы груза к жесткости пружины на правую часть выражения (1.4), получим:

Вычислим период колебаний нашего маятника, если $g=9,8\ \frac{м}{с^2}$:

Ответ. $T$=0,6 с

Пример 2

Задание. Две пружины с жесткостями $k_1$ и $k_2$ соединены последовательно (рис.2), к концу второй пружины присоединен груз массы $m$, Каков период колебаний данного пружинного маятника, если массами пружин можно пренебречь, сила упругости, действующая на груз, подчиняется закону Гука.

Решение. Период колебаний пружинного маятника равен:

Если две пружины соединены последовательно, то их результирующая жесткость ($k$) находится как:

\[\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\to k=\frac{k_1k_2}{k_1{+k}_2}\left(2.2\right).\]

Вместо $k$ в формулу для вычисления периода пружинного маятника подставим правую часть выражения (2.2), имеем:

Ответ. $T=2\pi \sqrt{\frac{m(k_1{+k}_2)}{k_1k_2}}$

) маятники и др.

Модель "Пружинный маятник"

Модель демонстрирует свободные колебания груза на пружине. Можно изменять массу груза m , его начальное положение x 0 , коэффициент жесткости пружины k , коэффициент вязкого трения b . Выводятся графики зависимости координаты и скорости от времени, диаграммы потенциальной и кинетической энергий при свободных гармонических колебаниях груза на пружине, а также при затухающих колебаниях при наличии вязкого трения.

Рассмотрим теоретически колебания пружинного маятника. Пружинный маятник представляет собой некоторый груз массой m, закрепленный на пружине с коэффициентом жесткости k, совершающий свободные гармонические колебания (рис.6.13).

Рис. 6.13

Гармонические колебания называютсвободными, если они совершаются только под действием сил, вызывающих эти колебания.

Частоту свободных гармонических колебаний называют собственной частотой (w о ), т.к. она зависит только от свойств самой физической системы.

Найдем дифференциальное уравнениесвободных гармонических колебаний пружинного маятника. На маятник (рис. 6 .13) действует сила тяжести

G = mg,

где , и сила упругости

F упр = – кх,

гдех - смещение; k - коэффициент жесткости (упругости) пружины (см. п.3.36. Закон Гука) .

Эти силы в состоянии покоя равны по величине, но противоположны по направлению(третий закон Ньютона). Однако при колебаниях сила упругости изменяется периодическипо величине и по направлению. Значит силой,вызывающей колебания пружинного маятника, является сила упругости. При этом выполняется следующее соотношение:

ma= – kx

или

Решением данного дифференциального уравнения является функция

Используя (6.23) и (6.26), запишем, что

Из (6.27) и(6.28), имеем

- m w о 2 х = – кх.

После несложных преобразований получим

Напомним, что уравнение вида (6.30) является общим для всех физических систем различной природы,совершающих свободные гармонические колебания, только вместосмещения х используется величина, характеризующая колебания данной системы, например, колебание заряда (q), тока(I)и т.д.

Сравнивая общее дифференциальное уравнение гармонических колебаний (6.30) и дифференциальное уравнение колебаний пружинного маятника (6.24), приходим к заключению, что квадрат круговой частоты прямо пропорционален коэффициенту жесткости пружины и обратно пропорционален его массе:

(6.31)

Найдем период колебаний пружинного маятника. Из кинематики вращательного движения м.т.известно, что период и угловая скорость (круговая частота) связаны соотношением

Следовательно, период колебаний пружинного маятника

(6.32)

Вывод: период колебаний пружинного маятника прямо пропорционален квадратному корню массы маятника и обратно пропорционален квадратному корню коэффициента жесткости пружины.

Замечание: Выводы, полученные при рассмотрении колебаний пружинного маятника, можно использовать в задачах, связанных с колебаниями атомов и молекул различных физических систем.

Например, каждая молекула характеризуется приведенной массой