Решение задач по электротехнике (ТОЭ). Реактивное сопротивление XL и XC Электромагнитные процессы, протекающие в электротехнических устройствах, как правило, достаточно сложны, поэтому далее формулы тоэ будут носить более учебный характер, чем практически

1. Какими параметрами характеризуются синусоидальный ток или напряжение?

2. Каково соотношение между амплитудным и действующим значениями величин, изменяющихся во времени по синусоидальному закону?

3. С какими физическими процессами связаны понятия активного сопротивления, активной мощности? Построить векторную диаграмму напряжения и тока для участка цепи.

4. С какими физическими процессами связаны понятия реактивного сопротивления, реактивной мощности? Как величина индуктивного и емкостного реактивных сопротивлений зависит от частоты питающего напряжения?

5. Построить векторные диаграммы для участков цепи с идеальной индуктивностью и идеальной емкостью.

6. Как определяют активное, реактивное и полное сопротивления цепи, содержащей несколько последовательно включенных элементов?

7. Привести формулы для расчета активной, реактивной и полной мощностей цепи.

8. Построить треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей для участка цепи с последовательным соединением R и L, с последовательны соединением R и C.

9. Построить векторную диаграмму для цепи, содержащей несколько последовательно включенных элементов.

6.4.2. Расчет электрических параметров цепи

Задача 1. Электрическая цепь, показанная на рис. 6.8, питается от источника синусоидального тока с частотой 200 Гц и напряжением 120 В. Дано: R = 4 Ом, L = 6,37 мГн, C = 159 мкФ.

Вычислить ток в цепи, напряжения на всех участках, активную, реактивную, и полную мощности. Построить векторную диаграмму, треугольники сопротивлений и мощностей.

Анализ и решение задачи 1

1. Вычисление сопротивлений участков и всей цепи

Индуктивное реактивное сопротивление

X L = 2πf L = 2×3,14×200×6,37·10 -3 Ом.

Емкостное реактивное сопротивление

X C = 1 / (2πf C) = 1 / (2×3,14×200×159·10 -6) Ом.

Реактивное и полное сопротивления всей цепи:

X = X L - X C = 3 Ом; Ом.

2. Вычисление тока и напряжений на участках цепи

Ток в цепи

I = U / Z = 120 / 5 А.

Напряжения на участках:

U 1 = R I = 96 В; U 2 = X L I = 192 В; U 3 = X C I = 120 В.

3. Вычисление мощностей

Активная мощность

P = R I 2 = U 1 I = 2304 Вт.

Реактивные мощности:

Q L = X L I 2 = U 2 I = 4608 ВАр; Q C = X C I 2 = U 3 I = 2880 ВАр.

Полная мощность цепи

4. Расчет цепи методом комплексных чисел

Запишем в комплексном виде сопротивление каждого элемента и всей цепи

R = 4e j0° = 4 Ом; X L = 8e +j90° = j8 Ом; X C = 5e -j90° = -j5 Ом.

Z = R + j(X L - X C) = 4 + j(8 - 5) Ом.

На комплексной плоскости в масштабе: в 1 см – 2 Ом, построим треугольник сопротивлений (рис. 6.9. а).

Из треугольника определим величину полного сопротивления Z и угол фазового сдвига φ

Ом;

В показательной форме полное сопротивление всей цепи запишется в виде

Z = Ze +jφ = 5e +j37° Ом.

Примем начальную фазу приложенного к цепи напряжения за нуль и определим по закону Ома ток в данной цепи

Í = Ú / Z = 120e +j0° / 5e +j37° А.

Следовательно, в данной цепи ток отстает по фазе от напряжения на угол φ. Зная величину тока I, определим мощности для отдельных элементов и всей цепи.

P = 2304 Вт; Q L = 4608 ВАр; Q C = 2880 ВАр.

Треугольник мощностей в масштабе: в 1 см – 1000 Вт (ВАр); (ВА), построим (рис. 6.9. б) на основе выражения для полной мощности

S 2 = P 2 + (Q L - Q C) 2 .

Для построения векторных диаграмм по току и напряжениям примем начальную фазу тока равной нулю, т.к. ток I в данной схеме является одним и тем же для всех элементов в цепи.

Í = Ie +j0° / 24e +j0° А.

Запишем выражения для напряжений в комплексной форме

Ú 1 = R Í = 96e +j0° В; Ú 2 = X L Í = 192e +j90° В;

Ú 3 = X C Í = 120e -j90° В; Ú = Z Í = 120e +j37° В.

Выберем масштабы для векторной диаграммы: в 1 см – 6 А; в 1 см – 50 В. Векторная диаграмма напряжений строится на основе второго закона Кирхгофа для данной цепи

Ú = Ú 1 + Ú 2 + Ú 3 .

Векторная диаграмма цепи показана на рис. 6.9. в. При последовательном соединении элементов построение диаграммы начинают с вектора тока Í, по отношению к которому ориентируются вектора напряжений на участках цепи: напряжение на активном сопротивлении Ú 1 совпадает с ним по направлению, напряжение на индуктивности Ú 2 опережает его на 90°, на емкости отстает на 90°. Полное напряжение Ú строится как их векторная сумма.

Дополнительные вопросы к задаче 1

1. Какой характер носит эквивалентное реактивное сопротивление цепи?

По условию задачи X L > X C , поэтому X = X L - X C имеет индуктивный характер. Обратите внимание, что реактивные сопротивления отдельных участков цепи (X L , X C) могут быть больше ее полного сопротивления, так в данном случае X L > Z.

2. Как изменяется режим работы цепи при изменении частоты питающего напряжения?

От частоты зависят реактивные сопротивления: X L прямо пропорционально частоте f, X C обратно пропорционально f. В рассматриваемой схеме X L > X C , поэтому при росте частоты X возрастает, ток уменьшается и возрастает угол φ его отставания от напряжения. При уменьшении частоты X уменьшается и при некотором ее значении X = 0, т.е. схема ведет себя как чисто активное сопротивление (режим резонанса напряжений, при котором U L = U C , Z = R и ток наибольший). При дальнейшем уменьшении частоты X C > X L , Z возрастает, I уменьшается, схема ведет себя как активно-емкостное сопротивление.

Реактивное сопротивление – электрическое сопротивление переменному току, обусловленное передачей энергии магнитным полем в индуктивностях или электрическим полем в конденсаторах.

Элементы, обладающие реактивным сопротивлением, называют реактивными.

Реактивное сопротивление катушки индуктивности.

При протекании переменного тока I в катушке, магнитное поле создаёт в её витках ЭДС, которая препятствует изменению тока.
При увеличении тока, ЭДС отрицательна и препятствует нарастанию тока, при уменьшении - положительна и препятствует его убыванию, оказывая таким образом сопротивление изменению тока на протяжении всего периода.

В результате созданного противодействия, на выводах катушки индуктивности в противофазе формируется напряжение U , подавляющее ЭДС, равное ей по амплитуде и противоположное по знаку.

При прохождении тока через нуль, амплитуда ЭДС достигает максимального значения, что образует расхождение во времени тока и напряжения в 1/4 периода.

Если приложить к выводам катушки индуктивности напряжение U , ток не может начаться мгновенно по причине противодействия ЭДС, равного -U , поэтому ток в индуктивности всегда будет отставать от напряжения на угол 90°. Сдвиг при отстающем токе называют положительным.

Запишем выражение мгновенного значения напряжения u исходя из ЭДС (ε ), которая пропорциональна индуктивности L и скорости изменения тока: u = -ε = L(di/dt) .
Отсюда выразим синусоидальный ток .

Интегралом функции sin(t) будет -соs(t) , либо равная ей функция sin(t-π/2) .
Дифференциал dt функции sin(ωt) выйдет из под знака интеграла множителем 1/ω .
В результате получим выражение мгновенного значения тока со сдвигом от функции напряжения на угол π/2 (90°).
Для среднеквадратичных значений U и I в таком случае можно записать .

В итоге имеем зависимость синусоидального тока от напряжения согласно Закону Ома, где в знаменателе вместо R выражение ωL , которое и является реактивным сопротивлением:

Реактивное сопротивлениие индуктивностей называют индуктивным.

Реактивное сопротивление конденсатора.

Электрический ток в конденсаторе представляет собой часть или совокупность процессов его заряда и разряда – накопления и отдачи энергии электрическим полем между его обкладками.

В цепи переменного тока, конденсатор будет заряжаться до определённого максимального значения, пока ток не сменит направление на противоположное. Следовательно, в моменты амплитудного значения напряжения на конденсаторе, ток в нём будет равен нулю. Таким образом, напряжение на конденсаторе и ток всегда будут иметь расхождение во времени в четверть периода.

В результате ток в цепи будет ограничен падением напряжения на конденсаторе, что создаёт реактивное сопротивление переменному току, обратно-пропорциональное скорости изменения тока (частоте) и ёмкости конденсатора.

Если приложить к конденсатору напряжение U , мгновенно начнётся ток от максимального значения, далее уменьшаясь до нуля. В это время напряжение на его выводах будет расти от нуля до максимума. Следовательно, напряжение на обкладках конденсатора по фазе отстаёт от тока на угол 90 °. Такой сдвиг фаз называют отрицательным.

Ток в конденсаторе является производной функцией его заряда i = dQ/dt = C(du/dt) .
Производной от sin(t) будет cos(t) либо равная ей функция sin(t+π/2) .
Тогда для синусоидального напряжения u = U amp sin(ωt) запишем выражение мгновенного значения тока следующим образом:

i = U amp ωCsin(ωt+π/2) .

Отсюда выразим соотношение среднеквадратичных значений .

Закон Ома подсказывает, что 1/ωC есть не что иное, как реактивное сопротивление для синусоидального тока.

Электрический ток
Электрический ток — это явление упорядоченного движения электрических зарядов. За направление электрического тока принимается направление движения положительных зарядов.
Формула электрического тока:

Электрический ток измеряется в амперах. СИ: А .
Электрический ток обозначается латинскими буквами i или I . Символом i(t) обозначается «мгновенное» значение тока, т.е. ток произвольного вида в любой момент времени. В частном случае он может быть постоянным или переменным.

Прописной латинской буквой I обозначается, как правило, постоянное значение тока.
В любом участке неразветвленной электрической цепи протекает одинаковый по величине ток, который прямо пропорционален напряжению на концах участка и обратно пропорционален его сопротивлению. Величина тока определяется по закону Ома:
1) для цепи постоянного тока
2) для цепи переменного тока ,
где U - напряжение, В ;
R - омическое сопротивление, Ом ;
Z - полное сопротивление, Ом .
Омическое сопротивление проводника:
,
где l - длина проводника, м ;
s - поперечное сечение, мм 2 ;
ρ - удельное сопротивление, (Ом · мм 2) / м .
Зависимость омического сопротивления от температуры:
R t = R 20 ,
где R 20 - сопротивление при 20°C , Ом ;
R t - сопротивление при t°C , Ом ;
α - температурный коэффициент сопротивления.
Полное сопротивление цепи переменного тока:
,
где - активное сопротивление, Ом ;
- индуктивное сопротивление, Ом ;
- индуктивность, Гн ;
- емкостное сопротивление, Ом ;
- ёмкость, Ф .
Активное сопротивление больше омического сопротивления R :
,
где - коэффициент, учитывающий увеличение сопротивления при переменном токе, зависящий от: частоты тока; магнитных свойств, проводимости и диаметра проводника.
При промышленной частоте, для нестальных проводников, принимают и считают .
Плотность тока
Плотность тока (j ) — это сила тока, рассчитанная на единицу площади поперечного сечения (s )
.
Для равномерного распределения плотности тока и сонаправленности её с нормалью к поверхности, через которую протекает ток, формула плотности тока принимает вид:
,
где I - сила тока через поперечное сечение проводника площадью s .
СИ: А/м 2
Электрическое напряжение
При протекании тока, как и при всяком перемещении зарядов, происходит процесс преобразования энергии. Электрическое напряжение — количество энергии, которое необходимо затратить на перемещение единицы заряда из одной точки в другую.
Формула электрического напряжения:

Электрическое напряжение обозначается латинской буквой u . Символом u(t) обозначается «мгновенное» значение напряжения, а прописной латинской буквой U обозначается, как правило, постоянное напряжение.
Электрическое напряжение измеряется в вольтах. СИ: В .
Энергия при протекании электрического тока
Формула энергии, при протекании электрического тока:

СИ: Дж
Мощность при протекании электрического тока
Формула мощности, при протекании электрического тока:

СИ: Вт .

Электрическая цепь

Электрическая цепь — это совокупность устройств, предназначенных для протекания по ним электрического тока.
Эти устройства называются элементами цепи.
Источники электрической энергии — устройства, преобразующие различные виды энергии, например механическую или химическую, в энергию электрического тока.
Идеальный источник напряжения — источник, напряжение на зажимах которого не зависит от величины протекающего через него тока.

Внутреннее сопротивление идеального источника напряжения можно условно принять равным нулю.
Идеальный источник тока — источник, величина протекающего тока через который не зависит от напряжения на его зажимах.

Внутреннее сопротивление такого источника можно условно принять равным бесконечности.
Приемник — это устройство, потребляющее энергию или преобразующее электрическую энергию в другие виды энергии.
Двухполюсник — это цепь, имеющая два зажима для подключения (полюса).
Идеальный R-элемент (резистивный элемент, резистор) — это такой пассивный элемент цепи, в котором происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую.
Основной параметр резистора — это его сопротивление.

Сопротивление измеряется в омах. СИ: Ом
Проводимость — это обратная величина по отношению к сопротивлению.
.
Измеряется проводимость в сименсах. СИ: См .
Формула мощности R-элемента:
.
Формула энергии R-элемента:
.
Идеальный С-элемент (емкостной элемент, или конденсатор) — это такой пассивный элемент цепи, в котором происходит процесс преобразования энергии электрического тока в энергию электрического поля и наоборот. В идеальном C-элементе потери энергии отсутствуют.
Формула ёмкости:
. Примеры: , .
Ток в ёмкости:

Напряжения на ёмкости:
.
Закон коммутации для емкостного элемента. При токе конечной амплитуды заряд на C-элементе не может измениться скачком: .
.
При неизменной ёмкости, напряжение на емкостном элементе не может измениться скачком: .
Мощность C-элемента: .
При p > 0 — энергия запасается, при p < 0
Энергия C-элемента:
, или
.

Емкость измеряется в фарадах. СИ: Ф .
Идеальный L-элемент (индуктивный элемент или катушка индуктивности) — это такой пассивный элемент цени, в котором происходит процесс преобразования энергии электрического тока в энергию магнитного поля и наоборот. В идеальном L-элементе потери энергии отсутствуют.
Для линейного L-элемента формула индуктивности (L ) имеет вид:
,
где — потокосцепление.
Индуктивность обозначается буквой и играет роль коэффициента пропорциональности между потоком и током .
Напряжение на индуктивном элементе:
.
Ток в индуктивном элементе:
.
Закон коммутации для индуктивного элемента. При напряжении конечной амплитуды, потокосцепление не может измениться скачком: .
.
При неизменной индуктивности ток в индуктивном элементе не может измениться скачком: .
Мощность L-элемента: .
При p > 0 — энергия запасается, при p < 0 — энергия возвращается в источник.
Энергия L-элемента:
, или
.
Если к моменту времени , энергия равна 0, то

Индуктивность измеряется в генри. СИ: Гн
Пример: .
R, L, C — основные пассивные двухполюсные элементы электрических цепей.

Основные законы электрических цепей

Закон Ома для участка цепи, не содержащего источник ЭДС .
Закон Ома для участка цепи, не содержащего источник ЭДС, устанавливает связь между током и напряжением на этом участке.

Применительно к данному рисунку, математическое выражение закона Ома имеет вид:
, или
Формулируется это равенство так: при неизменном сопротивлении проводника напряжение на нем пропорционально току в проводнике.
Закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС
Для схемы

.
Для схемы

.
В общем случае
.
Закон Джоуля-Ленца . Энергия, выделяемая на сопротивлении R при протекании по нему тока I , пропорциональна произведению квадрата силы тока и величины сопротивления:
Законы Кирхгофа .
Топология (строение) цепи.
Электрическая схема — графическое изображение электрической цепи.
Ветвь ‐ участок цепи, содержащий один или несколько последовательно соединенных элементов и заключенный между двумя узлами.
Узел ‐ точка цепи, где сходится не менее трех ветвей. Узлы нумеруют произвольно, как правило, арабской цифрой. На схеме узел может быть обозначен точкой, а может и не быть обозначен. Как правило, не обозначают те узлы, расположение которых очевидно (т‐образные соединения). Если пересекающиеся ветви образуют узел, то он обозначается точкой. Если в месте пересечения ветвей точки нет, то и узла нет (провода лежат друг на друге).
Контур – замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. Контуры независимы, если отличаются хотя бы одной ветвью. Контура обозначают стрелкой с указанным направлением обхода и римской цифрой. Направление обхода выбирают произвольно. Независимых контуров в схеме может быть много, при этом не все эти контура необходимы для составления достаточного для решения задачи количества уравнений.

1) алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы, равна нулю:
;

2) сумма подтекающих к любому узлу токов равна сумме утекающих от узла токов:
. .
Второй закон Кирхгофа:
1) алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура:

2) алгебраическая сумма напряжений (не падений напряжения!) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:
. .
Матричная форма записи уравнений Кирхгофа :
,
где А , В - коэффициентов при токах и напряжениях порядка p х p (p - число ветвей схемы; q - число узлов схемы);
I , E - неизвестных токов и заданных ЭДС
Элементами матрицы А являются коэффициенты при токах в левой части уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Первые строки матрицы А содержат коэффициенты при токах в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, и имеют элементы +1, -1, 0 в зависимости от того, с каким знаком входит данный ток в уравнение.
Элементы следующих строк матрицы А равны значениям сопротивлении при соответствующих токах в уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа, с соответствующим знаком. Элементы матрицы В равны коэффициентам при ЭДС в правой части уравнений, составленных по законам Кирхгофа. Первые строки матрицы имеют нулевые элементы, так как ЭДС в правой части уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, отсутствуют. Остальные строки содержат элементы +1, -1 в зависимости от того, с каким знаком входит ЭДС в уравнение, и 0, если ЭДС в уравнения не входит.
Общее решение уравнений, составленных по законам Кирхгофа:
,
где — матрица проводимостей.
.
Токи в каждой ветви:
;
;

.

Режимы работы электрических цепей

Номинальный режим работы элемента электрической цепи — это режим, при котором он работает с номинальными параметрами.
Согласованный режим — это режим, при котором мощность, отдаваемая источником или потребляемая приемником, имеет максимальное значение. Такое значение получается при определенном соотношении (согласовании) параметров электрической цепи.
Режим холостого хода — это такой режим, при котором через источник или приемник не протекает электрический ток. При этом источник не отдает энергию во внешнюю часть цепи, а приемник не потребляет ее. Для двигателя это будет режим без механической нагрузки навалу.
Режим короткого замыкания — это режим, возникающий при соединении между собой разноименных зажимов источника или пассивного элемента, а также участка электрической цепи, находящегося под напряжением.

Электрические цепи постоянного тока

Если ток постоянный, то отсутствует явление самоиндукции и напряжение на катушке индуктивности равно нулю :
, так как
Постоянный ток через емкость не проходит .
— это цепь с одним источником при последовательном, параллельном или смешанном соединение приемников.

При последовательном соединении приемников:
I×R экв ;
R экв =ΣR i .
При параллельном соединении приемников напряжение на всех приемниках одинаково.
По закону Ома токи в каждой ветви:
.
По первому закону Кирхгофа общий ток:
E×G экв ;
G экв =G 1 +G 2 +…+G n ; R экв =1/G экв .
При смешанном соединении:
R экв = .
Метод контурных токов .
Метод основан на применении второго закона Кирхгофа и позволяет сократить при расчете сложных систем число решаемых уравнений.
Во взаимно независимых контурах, где для каждого контура хотя бы одна ветвь входит только в этот контур, рассматривают условные контурные токи во всех ветвях контура.
Контурные токи, в отличие от токов ветвей, имеют следующие индексы: или
Уравнения составляют по второму закону Кирхгофа для контурных токов.
Токи ветвей выражают через контурные токи по первому закону Кирхгофа.
Число выбираемых контуров и число решаемых уравнений равно числу уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа: .
Сумма сопротивлений всех резистивных элементов каждого контура со знаком плюс является коэффициентом при токе контура, имеет следующие индексы: или
Знак коэффициента при токе смежных контуров зависит от совпадения или несовпадения направления смежных контурных токов. ЭДС входят в уравнение со знаком плюс, если направления ЭДС и направление тока контура совпадают. .
Метод узловых потенциалов .
Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и позволяет сократить число решаемых уравнений при нахождении неизвестных токов до . При составлении уравнений потенциал одного из узлов схемы принимают равным нулю, а токи ветвей выражают через неизвестные потенциалы остальных узлов схемы и для них записывают уравнения по первому закону Кирхгофа. Решение системы уравнений позволяет определить неизвестные потенциалы, а через них найти токи ветвей.
При http:="" title="U_{12}={sum{i=1}{m}{E_i/R_i}}/{sum{i=1}{n}{1/R_i}}={sum{i=1}{m}{E_i*G_i}}/{sum{i=1}{n}{G_i}}">.
.
Метод пропорциональных величии .
Метод применяют для нахождения неизвестных токов при цепочечном соединении резистивных элементов в электрических цепях с одним источником. Токи и напряжения, а также и известную ЭДС цепи выражают через ток самой удаленной от источника ветви. Задача сводится к решению одного уравнения с одним неизвестным.
Баланс мощностей
На основании закона сохранения энергии мощность, развиваемая источниками электрической энергии, должна быть равна мощности преобразования в цепи электрической энергии в другие виды энергии:
.
— сумма мощностей, развиваемых источниками;
— сумма мощностей всех приемников и необратимых преобразований энергии внутри источников.
Баланс мощностей составляют, чтобы проверить правильность найденного решения. При этом сравнивают мощность, внесенную в цепь источниками энергии с мощностью, затрачиваемой потребителями.
Формула мощности для одного резистора:

Суммарная мощность потребителей:
P П =
Мощность источников:
P ист = P E + P J ,
где P E = ±EI — мощность источника ЭДС (определятся умножением его ЭДС на ток, протекающий в данной ветви. Ток берут со знаком, полученным в результате расчета. Минус перед произведением ставят, если направление тока и ЭДС не совпадают на схеме);
P J = JU J — мощность источника тока (определятся умножением тока источника на падение напряжения на нем).
Для определения U J выбирают любой контур, который включал бы в себя источник тока. Обозначают падение U J на схеме против тока источника, и записывают контурное уравнение. Все величины, кроме U J , в данном уравнении уже известны, что позволяет рассчитать падение напряжения U J .
Сравнение мощностей: P ист = P П . Если равенство соблюдено, значит, баланс сошелся и расчет токов верен.
Алгоритм расчета цепи по законам Кирхгофа
1. Произвольно наносим на схему номера и направления неизвестных токов.
2. Произвольно наносим на схему номера узлов.
3. Составляем узловые уравнения для произвольно выбранных узлов (по первому закону).
4. Обозначаем на схеме контура и выбираем направления их обхода.
5. Количество обозначаемых контуров равно количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа. При этом ни один из контуров не должен включать в себя ветвь с источником тока.
6. Составляем контурные уравнения для выбранных контуров (по второму закону).
7. Объединяем составленные уравнения в систему. Известные величины переносим в правую часть уравнений. Коэффициенты при искомых токах вносим в матрицу А (левые части уравнений)(о матрицах читаем ). Заполняем матрицу F , занося в нее правые части уравнений.
8. Решаем полученную систему уравнений ().
9. Проверяем правильность решения составлением баланса мощностей.
  Пример: .

Электрические цепи переменного тока

Электрическая цепь синусоидального тока — это электрическая цепь, в которой ЭДС, напряжения и и токи, изменяющиеся по синусоидальному закону:
Переменный ток — это ток, периодически меняющийся по величине и направлению и характеризующийся амплитудой, периодом, частотой и фазой.
Амплитуда переменного тока — это наибольшее значение, положительное или отрицательное, принимаемое переменным током.
Период — это время, в течение которого происходит полное колебание тока в проводнике.
Частота — это величина, обратная периоду.
Фаза — это угол или , стоящий под знаком синуса. Фаза характеризует состояние переменного тока с течением времени. При t =0 фаза называется начальной.
Периодический режим : . К такому режиму может быть отнесен и синусоидальный:
,
где — амплитуда;
— начальная фаза;
— угловая скорость вращения ротора генератора.
При f = 50 Гц рад/с.
Синусоидальный ток — это ток изменяющийся во времени по синусоидальному закону:
.
Среднее значение синусоидального тока (ЭДС, напряжение), формула:
,
то есть среднее значение синусоидального тока составляет от амплитудного. Аналогично,
.
Действующее значение синусоидального тока (ЭДС, напряжение), формула:
. Аналогично,
.
Количество теплоты, выделенное за один период синусоидальным током, формула:
.
Действующее значение синусоидального тока I численно равно значению такого постоянного тока, который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты,что и синусоидальный ток.
=R×I пост 2 ×T или I пост =I =
Коэффициент амплитуды синусоидального тока (κ a) - это отношение амплитуды синусоидального тока к действующему значению синусоидального тока: .
Коэффициент формы синусоидального тока (κ ф) — это отношение действующего значения синусоидального тока к среднему за пол периода значению синусоидального тока:
κ ф =.
Для несинусоидальных периодических токов κ a ≠, κ ф ≠1,11. Это отклонение косвенно свидетельствует о том, насколько несинусоидальный ток отличается от синусоидального.

Основы комплексноrо метода расчета электрических цепей

любое комплексное число можно представить:
а) в алгебраической форме
б) в тригонометрической форме
в) в показательной форме
rде — формула Эйлера;
г) вектором на комплексной плоскости,

где — мнимая единица;
— реальная часть комплексного числа (проекция вектора на ось вещественных);
— мнимая часть комплексного числа (проекция вектора на ось мнимых);
— модуль комплексного числа;
— главное значение аргумента комплексного числа.
Решенные примеры по действиям над комплексными числами .
Синусоидальному току i .
Комплексная амплитуда тока — комплексное число модуль и аргумент которого соответственно равны амплитуде и начальной фазе синусоидального тока:
.
Комплексный ток (комплексный действующий ток) :
Синусоидальному напряжению u может быть поставлено в соответствие комплексное число .
Комплексная амплитуда напряжения — комплексное число модуль и аргумент которого соответственно равны амплитуде и начальной фазе синусоидального напряжения:
.
Комплексное сопротивление:

Активное сопротивление в комплексной форме выражается действительным положительным числом.
Реактивное сопротивление в комплексной форме выражается мнимыми числами, причем индуктивное сопротивление (X L ) положительно, а емкостное (X C ) отрицательно.
Полное сопротивление участка цепи при последовательном соединении R и X выражается комплексным числом, действительная часть равна активному сопротивлению, а мнимая часть реактивному сопротивлению этого участка.
Треугольник сопротивлений:
Треугольник напряжений:
Треугольник мощностей:

Полная мощность:
Активная мощность:
Реактивная мощность:
Закон Ома в комплексной форме:
.
Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:
.
Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:
.

Резонансные явления в электрических цепях

Резонанс напряжений.
Резонансом в электрических цепях называется режим участка электрической цепи, содержащей индуктивный и емкостной элементы, при котором разность фаз между напряжением и током равна нулю .
Режим резонанса может быть получен при изменении частоты ω питающего напряжения или изменением параметров L и C .
При последовательном соединении возникает резонанс напряжения.

Ток в схеме равен:

При совпадении вектора тока с вектором напряжения по фазе:

где — резонансная частота напряжения, определяемая из условия

Тогда

Волновое или характеристическое сопротивление последовательного контура:

Добротность контура — это отношение напряжения на индуктивности или емкости к напряжению на входе в режиме резонанса:

Добротность контура представляет собой коэффициент усиления по напряжению:
U Lрез =I рез X рез =
В промышленных сетях резонанс напряжений является аварийным режимом, так как увеличение напряжения на конденсаторе может привести к его пробою, а рост тока — к нагреву проводов и изоляции.
Резонанс токов.

Резонанс токов может возникнуть при параллельном соединении реактивных элементов в цепях переменного тока. В этом случае: где

тогда

При резонансной частоте реактивные составляющие проводимости могут сравниться по модулю и суммарная проводимость будет минимальной. При этом общее сопротивление становится максимальным, общий ток минимальным, вектор тока совпадает с вектором напряжения. Такое явление называется резонансом токов.
Волновая проводимость: .
При g << b L ток в ветви с индуктивностью значительно больше общего тока, поэтому такое явление называется резонансом токов.
Резонансная частота:
ω* =
Из формулы следует:
1) резонансная частота зависит от параметров не только реактивных сопротивлений, но и активных;
2) резонанс возможен, если R L и R C больше или меньше ρ , в противном случае частота будет мнимой величиной и резонанс не возможен;
3) если R L = R C = ρ , то частота будет иметь неопределенное значение, что означает возможность существования резонанса на любой частоте при совпадении фаз напряжения питания и общего тока;
4) при R L = R C << ρ резонансная частота напряжения равна резонансной частоте тока.
Энергетические процессы в цепи при резонансе токов аналогичны процессам при резонансе напряжений.
Реактивная мощность при резонансе токов равна нулю. Подробно, реактивная мощность рассмотрена

Переход от показательной формы к тригонометрической осуще- ствляется по формуле Эйлера Ae jψ = A cos ψ + jA sin ψ, обратный переход, принимая во внимание представление комплекс- ных чисел, также несложен: I = Re(I) 2 + Im (I) 2 , & & U = Re(U) 2 + Im (U) 2 - & & - модули комплексных чисел; & Im(I) & Im(U) ψ i = arctg , ψ u = arctg - & Re (I) & Re (U) -начальные фазы. Кроме аналитической формы представления, в электротехнике широко используется и графическое представление величин (рис. 3.1): +j 1) в прямоугольной де- I& картовой системе координат в U& Im(Đ) виде синусоидальных функ- ϕ & Im(U) ψi ций времени; ψu +1 2) в полярной системе 0 координат в виде вращаю- Re(Đ) & Re(U) щихся векторов; Рис. 3.1 3) на комплексной плос- кости в виде вращающихся векторов, изображенных для момента времени t = 0. Величина электрического сопротивления, в отличие от ЭДС, то- ка и напряжения, не вектор, а скаляр. В соответствии с законом Ома, записанным в комплексном виде, и с учетом вариантов представления комплексных чисел широко из- вестна запись: U & Z = = R + j (X L − X C) = Ze jϕ , Ом, I& где R – линейное активное сопротивление, Ом; XL − идеальное индуктивное сопротивление, определяемое как XL = ω L, Ом; XC − идеальное емкостное сопротивление, определяемое как XC = 1/(ω C), Ом; Z = R 2 + (X L − X C) 2 − модуль полного комплексного сопро- тивления, Ом; X − XC ϕ = arctg L − фаза полного комплексного сопротивления, R град (рад). При последовательном соединении полное комплексное эквива- лентное сопротивление равно сумме комплексных сопротивлений от- дельных участков: n n  n n  Z э = ∑ Z k = ∑ Rk + j  ∑ X Lk − ∑ X Ck .   k =1 k =1  k =1 k =1  Основные элементы схем замещения цепей синусоидального то- ка и их параметры сведены в табл. 3.1. 3.1.2. Примеры решения задач Пример 1 Заданы графические изображения u, i тока и напряжения, известны их ампли- u i тудные значения Im = 2A, Um = 141 B 0 t (рис.3.2). 1. Записать аналитические выраже- 0,001 с ния функций в тригонометрической и Т=0,01 с комплексной формах. 2. Определить полное комплексное Рис. 3.2 сопротивление цепи. 3. Вычертить электрическую схему цепи и определить ее пара- метры. 4. Построить векторную диаграмму тока и напряжения. Решение 1. Исходя из общего вида записи, определяются: i=Im sin(ωt+ψi), u=Um sin(ωt+ψu), угловая частота: ω = 2πf = 2π/T = 2π/0,01≈ 628, c-1. Пассивные элементы электрической цепи Таблица 3.1 Элементы схем замещения Полное Модуль полного Аргумент Упрощенная Запись закона комплексное комплексного полного векторная Название Обозначение Ома сопротивление, сопротивления, комплексного диаграмма Ом Ом сопротивления R Идеальный ре- I =UR / R & & & U Đ зистивный эле- R R 0 U R = RI & & мент Идеальный ин- L I = UL /(jXL) , & & jXL=jωL= o U& дуктивный эле- XL=ωL 90 U = jX I & & = ωLe j 900 ϕ= 90o Đ мент L L Идеальный ем- C I = UC /(− jXC) , −jXC=−j/(ωC)= & & костный элемент XC=1/(ωC) – 90o ϕ= -90o Đ U C = − jX C I = e− j 90 0 & & & U Реальная индук- L R U& I =U Z & & X тивная катушка Z=R+jXL Z= R + 2 2 XL ϕ = arctg L R ϕ>0 Đ Последователь- ное соединение Đ R С резистивного и − XC ϕ<0 I =U Z & & Z=R-jXC Z = R2 + X C 2 ϕ = arctg U& идеального ем- R костного эле- ментов Обобщенный Z Z= X L − XC I =U Z & & Z=R+j(XL-XC) ϕ = arctg элемент = R2 + (X L − XC)2 R Величины начальных сдвигов фаз: для тока − из графика видно, что ψi = 0, для напряжения – определяем из пропорции: 0,01 − 2π 0,001·2π π ⇒ψ = = . 0,001 − ψ u u 0,01 5 График тока пересекает начало координат раньше, чем график напряжения, поэтому ψu< 0. После этого выражения для мгновенных значений приобретут вид: i=2 sin(628 t), A, u=141 sin(628t−π/5), B. Для перехода к комплексной форме записи определяются дейст- вующие значения тока и напряжения: I = I m / 2 = 2 / 2 ≈ 1,41, A; U = U m / 2 = 141 / 2 ≈ 100, B . Комплексные значения тока и напряжения в показательной форме имеют вид I = 1,41 ⋅ e j 0 , A ; U = 100 ⋅ e − j 36 , B . o o & & 2. Полное комплексное сопротивление цепи U 100e − jπ/5 & Z= = = 70,92e − jπ/5 , Ом. I& 1,41e j0 Воспользовавшись формулой Эйлера, получим Z = 70,92cos(–π/5) + j70,92sin(–π/5) = 57,37 – j 41,68, Ом, следовательно, R = 57,37 Ом, XC = 41,68 Ом, C = 1/(ωXC) = 7,64⋅10-5 = 76,4, мкФ. 3. Электрическая схема замеще- ния содержит активное сопротивление R XC R = 57,37 Ом и емкостное XC = 41,68 Ом с величиной емкости С = 76,4 мкФ (рис. 3.3). Рис. 3.3 4. Векторная диаграмма тока и напряжения показана на рис. 3.4. +j Đ +1 0 φ=−36 U& Рис. 3.4 Пример 2 Даны комплексные значения тока и напряжения: I = (4 + j 3), A , & U = (20 + j 20), B, частота питающей сети f = 50 Гц. & 1. Записать ток и напряжение в комплексной показательной форме и выражения для их мгновенных значений. 2. Вычислить величину Z. 3. Построить векторную диаграмму тока и напряжения. 4. Вычертить схему замещения участка электрической цепи. Решение 1.Модуль тока I = Re(I) 2 + Im(I) 2 = 4 2 + 32 = 5, A, & & начальная фаза тока ψi= arctg (Im(Đ) / (Re(Đ)) = arctg(3/4)=36,9°, комплекс тока в показательной форме записи o I = 5e j 36,9 , A . & Модуль напряжения U = Re(U) 2 + Im(U) 2 = 20 2 + 20 2 = 28,3, В, & & начальная фаза напряжения & Im(U)  20  ψ u = arctg = arctg  = 45o , & Re(U)  20  комплекс напряжения в показательной форме записи U = 28,3е j 45° , В. & Амплитудные значения: тока I m = I 2 = 5 2 = 7,1, A ; напряжения U m = U 2 = 28,3 2 = 40, B . Мгновенные значения: тока i = 7,1 sin(314t + 0,64), A; напряжения u = 40 sin (314t+π/4), B. 2. Полное комплексное сопротивление цепи o U 28,3e j 45 & o Z= = = 5,66e j 8,1 , Ом. & I o 5e j 36,9 3. В алгебраической форме (переход по формуле Эйлера через тригонометрическую форму) Z = 5,66cos(8,1˚) + j5,66sin (8,1˚) = 5,6 + j 0,8, Ом. 4. Векторная диаграмма тока и напряжения представлена на рис. 3.5 +j U& Đ φ = 8,1o ψu = 45o ψi = 36,9o +1 0 Рис. 3.5 5.Схема замещения цепи (рис. 3.6) R L Рис. 3.6 Пример 3 Задана электрическая цепь (рис. 3.7), R L содержащая последовательно вклю- ченные катушку индуктивности с ак- U& тивным сопротивлением R = 10 Ом и C индуктивным сопротивлением XL = 2 Ом и конденсатор с емкостным со- Рис. 3.7 противлением XC = 5 Ом. Напряжение питания цепи U = 36 В. Вычислить величину тока и построить векторную диаграмму тока и напряжений. Решение Полное комплексное сопротивление цепи Z = R + j (X L − X C) = 10 − j 3 = 10,44е− j16°42′ , Ом. Согласно закону Ома в комплексной форме ток в цепи составит & &=U = 36е j 0° I = 3,45е j16°42′ , A . Z 10,44е − j16°42′ По известным значениям тока и сопротивлений участков цепи вычисляются падения напряжения на отдельных участках схемы за- мещения электрической цепи: U R = RI = 10 ⋅ 3,45 = 34,5, B, U L = X L I = 2 ⋅ 3,45 = 6,9, B, U C = X C I = 5 ⋅ 3,45 = 17,25, B. Алгоритм построения векторной диаграммы тока и напряже- ний (рис. 3.8): +j & UL & I & Uк & UR & UC ϕ = – 16°42′ +1 0 U& Рис. 3.8 1) поскольку в цепи из последовательно соединенных элемен- тов общим для последних является ток, построение векторной диа- & граммы начинается с откладывания вектора тока I ; 2) из начала координат по вектору тока откладывается вектор & U R (длина вектора определяется исходя из масштаба напряжений mU); & & 3) из конца вектора U R перпендикулярно вектору I строится вектор U L так, чтобы этот вектор опережал вектор тока I на 90o; & & & & 4) сумма векторoв U R и U L равна вектору падения напряжения & на катушке U к; & & & 5) из конца вектора U L или U к проводится векторU C ; его на- правление определяется из условия опережения вектором тока векто- ра напряжения U C на угол π/2 (в случае идеального емкостного эле- & мента); & & & 6) сумма векторов падений напряжения U R , U L и U C равна & вектору напряжения U , приложенного к электрической цепи. Пример 4 В электрическую цепь с напряжением на входе u = 141 sinωt, В, включена катушка индуктивности с активным сопротивлением R = 3 Ом и индуктивным сопротивлением XL = 4 Ом. Вычислить показания включенных в цепь амперметра и вольт- метра, а также мощность, потребляемую цепью. Решение Полное комплексное сопротивление цепи Z = R + jX L = 3 + j 4 = 5е j 53,1° , Ом. Действующее значение напряжения (показание вольтметра) U = U m / 2 = 141 / 2 = 100, B . Действующее значение тока (показание амперметра) U 100 I= = = 20, A . Z 5 Комплексное значение тока (начальная фаза напряжения соглас- но условию задачи равна нулю) & j 0° & = U = 100е = 20е − j 53,1° = 20 cos (−53,1°) + j 20 sin (−53,1°) = I Z 5е j 53,1° = 12 − j16, A . Величины активной и реактивной мощностей, потребляемых цепью, рассчитываются исходя из действующих значений величин P = UI cos ϕ = U a I = RI 2 = 3 ⋅ 202 = 1200, Вт, Q = UI sin ϕ = U p I = X L I 2 = 4 ⋅ 20 2 = 1600, вар, либо с использованием комплексов ∗ S = U I = P + jQ = 100e j 0° ⋅ 20е j 53,1° = 2000е j 53,1° = & = 2000 cos 53,1° + j 2000 sin 53,1° ≈ 1200 + j 1600, ВА. Необходимо обратить внимание на то, что в формуле нахожде- ния мощности S используется комплексно сопряженная величина то- ∗ ка I . Полная или кажущаяся мощность (действующее значение) S = UI = 100 ⋅ 20 = 2000, BA. 3.1.3. Задачи для самостоятельного решения Задача 1 Определить напряжение на ин- C1 R L C2 дуктивном элементе схемы, если R = = 10 Ом, С1= 100 мкФ, С2 = 20 мкФ, U = 24 В, L = 0,4 Гн, f = 50 Гц. U& Ответ: 45,5 В. Задача 2 R1 C R2 L Определить модуль полного ком- плексного сопротивления цепи, по- U строить векторную диаграмму тока и напряжений, если L = 0,2 Гн, R1 = 10 Ом, C = 100 мкФ, R2 = 40 Ом, U = 220 В, f = 50 Гц. Ответ: 58,8 Ом. Задача 3 Определить полное комплексное сопротивление участка цепи, если i =1,35sin (314t+π/10), А, u = 245 sin (314 t – π/20), В. Ответ: 161,7 – j82,39, Ом. Задача 4 Вычислить потребляемую цепью R L C полную комплексную мощность, если U = 127 В, R = 230 Ом, f = 50 Гц, U L = 0,5 Гн, C = 200 мкФ. Ответ: 51 + j31,2, ВА. Задача 5 R ХL1 ХC ХL2 Вычислить величину дейст- вующего значения тока в цепи при U U = 5 B, R = 3 Ом, XL1 = 1 Ом, XL2 = = 1 Ом, XC = 6 Ом. Ответ: 1 А. 3.2. Анализ разветвленных электрических цепей 3.2.1. Основные определения и алгоритм решения задач Полная комплексная проводимость электрической цепи определяется согласно закону Ома I& Y = = G − j (BL − BC) = Ye − jϕ , Ом, U& где G − активная проводимость цепи, См; BL − индуктивная составляющая проводимости, См; BC − емкостная составляющая проводимости, См, причем модуль полной комплексной проводимости Y = G 2 + (BL − BC) 2 , См, B − BC а фаза ϕ = arctg L , град. G Величины G, BL, BC могут быть вычислены также исходя из за- данных параметров электрической цепи. И в общем виде можно ска- зать, что величина проводимости какой-то ветви прямо пропорцио- нальна соответствующему сопротивлению ветви и обратно пропор-

В предыдущих статьях мы узнали, что всякое сопротивление, поглощающее энергию, называется активным , а сопротивление, не поглощающее энергии, безваттным или реактивным. Кроме того, мы установили, что реактивные сопротивления делятся на два вида - индуктивные и емкостные .

Однако существуют цепи, где сопротивление не является чисто активным или чисто реактивным. То есть цепи, где вместе с активным сопротивлением включены в цепь, как емкости, так и индуктивности.

Введем понятие полного сопротивления цепи переменному току - Z , которое соответствует векторной сумме всех сопротивлений цепи (активных, емкостных и индуктивных). Понятие полного сопротивления цепи нам необходимо для более полного понимания закона Ома для переменного тока

На рисунке 1 представлены варианты электрических цепей и их классификация в зависимости от того какие элементы (активные или реактивные) включены в цепь.

Рисунок 1. Классификация цепей переменного тока.

Полное сопротивление цепи с чисто активными элементами соответствует сумме активных сопротивлений цепи и рассматривалось нами ранее. О чисто емкостном и индуктивном сопротивлении цепи мы тоже с вами говорили, и оно зависит соответственно от общей емкости и индуктивности цепи.

Рассмотрим более сложные варианты цепи, где последовательно с активным сопротивлением в цепь включено индуктивное и реактивное сопротивление.

Полное сопротивление цепи при последовательном соединении активного и реактивного сопротивления.

В любом сечении цепи, изображенной на рисунке 2,а, мгновенные значения тока должны быть одинаковыми, так как в противном случае наблюдались бы скопления и разрежения электронов в каких-либо точках цепи. Иными словами, фазы тока по всей длине цепи должны быть одинаковыми. Кроме того, мы знаем, что фаза напряжения на индуктивном сопротивлении опережает фазу тока на 90°, а фаза напряжения на активном сопротивлении совпадает с фазой тока (рисунок 2,б). Отсюда следует, что радиус-вектор напряжения U L (напряжение на индуктивном сопротивлении) и напряжения U R (напряжение на активном сопротивлении) сдвинуты друг относительно друга на угол в 90°.

Рисунок 2. Полное сопротивление цепи с активным сопротивлением и индуктивностью. а) - схема цепи; б) - сдвиг фаз тока и напряжения; в) - треугольник напряжений; д) - треугольник сопротивлений.

Для получения радиуса-вектора результирующего напряжения на зажимах А и В (рис.2,а) мы произведем геометрическое сложение радиусов-векторов U L и U R . Такое сложение выполнено на рис. 2,в, из которого видно, что результирующий вектор U AB является гипотенузой прямоугольного треугольника.

Из геометрии известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

По закону Ома напряжение должно равняться силе тока, умноженной на сопротивление.

Так как сила тока во всех точках цепи одинакова, то квадрат полного сопротивления цепи (Z 2) будет также равен сумме квадратов активного и индуктивного сопротивлений, т. е.

(1)

Извлекая квадратный корень из обеих частей этого равенства, получим,

(2)

Таким образом, полное сопротивление цепи, изображенной на рис 2,а, равно корню квадратному из суммы квадратов активного и индуктивного сопротивлений

Полное сопротивление можно находить не только путем вычисления, но и путем построения треугольника сопротивлений, аналогичного треугольнику напряжений (рис 2,д), т. е. полное сопротивление цепи переменному току может быть получено путем измерения гипотенузы, прямоугольного треугольника, катетами которого являются активное и реактивное сопротивления. Разумеется, измерения катетов и гипотенузы должны производиться в одном и том же масштабе. Так, например, если мы условились, что 1 см длины катетов соответствует 1 ом, то число омов полного сопротивления будет равно числу сантиметров, укладывающихся на гипотенузе.

Полное сопротивление цепи, изображенной на рис.2,а, не является ни чисто активным, ни чисто реактивным; оно содержит в себе оба эти вида сопротивлений. Поэтому угол сдвига фаз тока и напряжения в этой цепи будет отличаться и от 0° и от 90°, то есть он будет больше 0°, но меньше 90°. К которому из этих двух значений он будет более близок, будет зависеть от того, какое из этих сопротивлений имеет преобладающее значение в цепи. Если индуктивное сопротивление будет больше активного, то угол сдвига фаз будет более близок к 90°, и наоборот, если преобладающим будет активное сопротивление, то угол сдвига фаз будет более близок к 0°.

В цепи, изображенной на рис 3,а, соединены последовательно активное и емкостное сопротивления. Полное сопротивление такой цепи можно определить при помощи треугольника сопротивлений так же, как мы определяли выше полное сопротивление активно-индуктивной цепи.

Рисунок 3. Полное сопротивление цепи с активным сопротивлением и емкостью . .

Разница между обоими случаями состоит лишь в том, что треугольник сопротивлений для активно-емкостной цепи будет повернут в другую сторону (рис 3,б) вследствие того, что ток в емкостной цепи не отстает от напряжения, а опережает его.

Для данного случая:

(3)

В общем случае, когда цепь содержит все три вида сопротивлений (рис. 4,а), сначала определяется реактивное сопротивление этой цепи, а затем уже полное сопротивление цепи.

Рисунок 4. Полное сопротивление цепи содержащей R, L и C . а) - схема цепи; б) - треугольник сопротивлений .

Реактивное сопротивление этой цепи состоит из индуктивного и емкостного сопротивлений. Так как эти два вида реактивного сопротивления противоположны друг другу по своему характеру, то общее реактивное сопротивление цепи будет равно их разности, т. е.

(4)

Общее реактивное сопротивление цепи может иметь индуктивный или емкостный характер, в зависимости от того, какое из этих двух сопротивлений (X L или X C преобладает).

После того как мы по формуле (4) определили общее реактивное сопротивление цепи, определение полного сопротивления не представит затруднений. Полное сопротивление будет равно корню квадратному из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений, т. е.

(5)

(6)

Способ построения треугольника сопротивлений для этого случая изображен на рис. 4 б.

Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивного сопротивления.

Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивного элемента.

Для того чтобы вычислить полное сопротивление цепи, составленной из активного и индуктивного сопротивлений, соединенных между собой параллельно(рис. 5,а), нужно сначала вычислить проводимость каждой из параллельных ветвей, потом определить полную проводимость всей цепи между точками А и В и затем вычислить полное сопротивление цепи между этими точками.

Рисунок 5. Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивных элементов . а) - параллельное соединение R и L; б) - параллельное соединение R и C .

Проводимость активной ветви, как известно, равна 1/R, аналогично проводимость индуктивной ветви равна 1/ωL , а полная проводимость равна 1/Z

Полная проводимость равна корню квадратному из суммы квадратов активной и реактивной проводимости, т. е.

(7)

Приводя к общему знаменателю подкоренное выражение, получим:

(8)

(9)

Формула (9) служит для вычисления полного сопротивления цепи, изображенной на рис. 5а.

Нахождение полного сопротивления для этого случая может быть произведено и геометрическим путем. Для этого нужно построить в соответствующем масштабе треугольник сопротивлений, и затем произведение длин катетов разделить на длину гипотенузы. Полученный результат и будет соответствовать полному сопротивлению.

Аналогично случаю, рассмотренному выше, полное сопротивление при параллельном соединении R и С (рис 5б) будет равно:

(10)

Полное сопротивление может быть найдено также и в этом случае путем построения треугольника сопротивлений.

В радиотехнике наиболее часто встречается случай па¬раллельного соединения индуктивности и емкости, например колебательный контур для настройки приемников и передатчиков. Так как катушка индуктивности всегда обладает кроме индуктивного еще и активным сопротивлением, то эквивалентная (равноценная) схема колебательного контура будет содержать в индуктивной ветви активное сопротивление (рис 7).

Рисунок 6. Эквивалентная схема колебательного контура .

Формула полного сопротивления для этого случая будет:

(11)

Так как обычно активное сопротивление катушки (R) бывает очень мало по сравнению с ее индуктивным сопротивлением (ωL), то мы имеем право формулу (11) переписать в следующем виде:

(12)

В колебательном контуре обычно подбирают величины L и С таким образом, чтобы индуктивное сопротивление равнялось емкостному, т. е. чтобы соблюдалось условие

(13)