Школьная энциклопедия. Школьная энциклопедия Годы зрелости и личность

Вступление

В этой курсовой работе мы познакомимся с уравнением Бесселя и его применением в уравнениях математической физики. Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

Фридрих Вильгельм Бессель

Немецкий математик и астроном XIX века. Родился 22 июля 1784 в Миндене. Самостоятельно изучал математику и астрономию, в 1804 вычислил орбиту кометы Галлея. В 1806 стал ассистентом крупного астронома И. Шрётера в Лилиентале, вскоре приобрел репутацию видного астронома-наблюдателя и вычислителя-математика. В этом качестве в 1810 был приглашен в Кёнигсбергский университет для организации обсерватории, директором которой оставался до конца жизни. Полагая, что в результаты наблюдений необходимо вносить поправки, учитывающие наличие самых незначительных факторов, Бессель разработал математические методы коррекции результатов наблюдений. Первой работой в этом направлении стала корректировка положений звезд в каталоге, составленном в 18 в. английским астрономом Дж. Брадлеем. В дальнейшем Бессель сам вел наблюдения за звездами; в 1821-1833 он определил положение более 75 тыс. звезд и составил обширные каталоги, которые легли в основу современных знаний о звездном небе.

Бессель одним из первых измерил параллаксы звезд и расстояние до них. В 1838 определил расстояние до двойной звезды 61 Лебедя, оказавшейся одной из самых близких к Солнечной системе. Наблюдая в течение ряда лет яркие звезды Сириус и Процион, Бессель обнаружил в их траектории такие особенности, которые можно было объяснить только наличием спутников. Эти предположения впоследствии подтвердились: в 1862 был обнаружен спутник Сириуса, а в 1896 - спутник Проциона. Известны работы Бесселя в области геодезии (определение длины секундного маятника, изобретение базисного прибора).

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т.п., например:

· электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;

· теплопроводность в цилиндрических объектах;

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Уравнение Бесселя

При решении многих задач математической физики приходят к линейному дифференциальному уравнению:

где - постоянная. Это уравнение встречается также во многих вопросах физики, механики, астрономии и т.п. Уравнение (1) называется уравнением Бесселя . Так как уравнение (1) имеет особую точку x = 0, то его частное решение следует искать в виде обобщенного степенного ряда:

Подставляя ряд (2) в уравнение (1), получим

Приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях x, будем иметь:

Из первого равенства находим два значения для р: p 1 = и p 2 =-

Если мы возьмем первый корень р = , то из формул (5) и (6) получим:

Отсюда следует, что a 2k+1 =0 (k=2, 3, 4,…), а коэффициенты с четными индексами определяются, очевидно, по формулам:

Из которых ясно, что общее выражение для коэффициентов имеет такой вид:

Что касается коэффициента a 0 , который был до сих пор совершенно произвольным, то выберем его таким образом:

где Г () - гамма-функция, которая определяется для всех положительных значений (а также для всех комплексных значений с положительной вещественной частью) следующим образом:

При таком выборе а 0 коэффициент а 2k может быть записан в виде:

Это выражение может быть упрощено, если воспользоваться одним из основных свойств гамма-функции. Для этого проинтегрируем правую часть равенства (8) по частям; тогда получим следующую основную формулу:

Отметим, что формула (10) дает возможность определить гамма-функцию для отрицательных значений, а также и для всех комплексных значений.

Пусть k - некоторое целое положительное число. Применяя несколько раз формулу (10), получим

Полагая в этой формуле = 0, найдем, в силу равенства

другое важное свойство гамма-функции, выражаемое

Г (k+1) = k! (12)

бессель уравнение функция ортогональность

С помощью формулы (11) выражение (9) для коэффициента а 2k примет следующий вид:

Внося найденные значения коэффициентов а 2k+1 и а 2k в ряд (2), получим частное решение уравнения (1). Это решение носит название функции Бесселя 1-го рода - го порядка и обозначается обычно через J V (x).

Таким образом,

Ряд (14) сходится при любом значении x, в чем нетрудно убедиться, применяя признак Даламбера.

Используя второй корень p 2 =-, можно построить второе частное решение уравнения (1). Оно может быть получено, очевидно, из решения (14) простой заменой на -, так как уравнение (1) содержит только 2 и не меняется при замене на -:

Если не равно целому числу, то частные решения J V (x) и J- V (x). уравнения Бесселя (1) будут линейно независимыми, так как разложения, стоящие в правых частях формул (14) и (15), начинаются с разных степеней х. Если же есть целое положительное число n, то в этом случае легко обнаружить линейную зависимость решений J n (x) и J -n (x). Действительно, при целом для к = 0, 1, 2,…, n- 1 величина -+k+1 принимает целые отрицательные значения или нуль. Для этих значений k: Г(-+k+1)=, что следует из формулы:

Таким образом, первые n членов в разложении (15) обратятся в нуль и мы получим

или, положив k= n + l, получим

Отсюда следует, что при целом n функции J n (x) и J -n (x) линейно зависимы.

Для того чтобы найти общее решение уравнения (1), когда равно целому числу n, необходимо найти второе, линейно-независимое от J V (x), частное решение. Для этого введем новую функцию Y v (х), положив

Очевидно, что эта функция также является решением уравнения (1), так как она представляет собою линейную комбинацию частных решений JV (x) и

J- V (x) этого уравнения. Затем нетрудно убедиться, на основании соотношения (16), что при, равном целому числу n, правая часть равенства (17) принимает неопределенный вид. Если раскрыть эту неопределенность по правилу Лопиталя, то в результате ряда выкладок (которые ввиду их сложности здесь не воспроизводятся) получим следующее представление функции Y n (x) при целом положительном n:

В частном случае, при n = 0, функция Y o (х) представляется таким образом:

Введенная здесь функция Y v (х) называется функцией Бесселя 2-го рода - го порядка или функцией Вебера.

Функция Вебера Y v (х) является решением уравнения Бесселя также и в том случае, когда - целое число.

Функции J V (x) и Y v (х), очевидно, линейно независимы, следовательно, эти функции при всяком - дробном или целом - образуют фундаментальную систему решений. Отсюда вытекает, что общее решение уравнения (1) может быть представлено в виде

где С 1 и С 2 - произвольные постоянные.

> > Фридрих Бессель

Биография Фридриха Бесселя (1784-1846 гг.)

Краткая биография:

Образование : Гёттингенский университет

Место рождения : Минден, Вестфалия (сейчас Германия)

Место смерти : Кёнигсберг, Пруссия (ныне Калининград, Россия)

– немецкий астроном и математик: биография с фото, орбита кометы Галлея, астрометрия, исследование Проциона и Сириуса, календарный год.

Немецкий астроном, геодезист Бессель Фридрих Вильгельм (1784-1846 гг.), являвшийся с 1812 года членом Берлинской Академии наук, родился в Миндене. Его отцом был мелкий чиновник, в семье помимо Фридриха было много детей. Интересоваться астрономией Бессель начал еще в юности. Астроном-любитель серьезно занимался собственным образованием, и в 1804 году ему удалось вычислить самостоятельно орбиту кометы Галлея, за что он был отмечен Г. В. Ольберсом. Частная обсерватория И. И. Шрётера, расположенная в Лилиентале, 1806 году сделала его своим ассистентом. А в 1810 году для создания новой обсерватории Бесселя пригласили в Кёнигсберг. Ее директором этот немецкий астроном оставался до самой смерти.

Как основоположник астрометрии, Бессель занимался разработкой теории ошибок инструмента, реализуя идею о необходимости внесения соответствующих поправок в данные, полученные в результате наблюдений. Для обработки результатов, полученных во время астрономических наблюдений, им применялись различные математические методы (теория вероятностей, метод наименьших квадратов). По мнению А. Паннекука, благодаря Бесселю был установлен более высокий стандарт и для конструкторов, занимающихся созданием астрономических инструментов, и для самих астрономов. Свои усовершенствованные методы редукции астрономических наблюдений Бессель описал в «Кёнигсбергских таблицах», созданных в 1830 году.

Первой большой работой астронома можно назвать переработку наблюдений положений звезд, описанных в известном каталоге Брадлея, созданном в 40…50-х годах 18 века.

Ее результаты были опубликованы в «Основах астрономии» в 1818 году. В этом труде, наряду с каталогом 3200 звезд, приводились и значения некоторых постоянных (прецессии, нутации, рефракции), вычисленные Бесселем с точностью, намного превосходящей предыдущие определения данных величин. Итогом этой работы стали таблицы рефракции, составленные с достаточно большой точностью.

Известен был Бессель и как астроном-наблюдатель, который провел наблюдения более 75 тыс. звезд, находящихся в зоне +47… -16 по склонению. Для своих наблюдений он установил меридианный круг Рейхенбаха. Наблюдая на нем несколько лет подряд яркие звезды Процион и Сириус, астроном в 1844 году заметил, что эти звезды осуществляют движение по волнистой траектории, а не по прямой. Это позволило ему предположить, что данные звезды имеют невидимые спутники. И действительно в 1862 году А.Кларком был обнаружен спутник Сириуса, а 1896 году Дж. Шеберле – спутник Проциона.

Анализ наблюдений двойной звезды 61 в созвездии Лебедя, которые проводились Бесселем на гелиометре Фраунгофера, позволил астроному в 1838 г. измерить параллакс этой звезды. Полученное в 1840 г. значение в 0,37" было уточнено и стало равным 0,35".

Годом позднее в 1839 году Т. Хендерсону из обсерватории, расположенной на мысе Доброй Надежды, удалось определить параллакс Альфы Центавра - 0,91", а В. Я. Струве из Дерптской обсерватории измерил параллакс Альфы Лиры - 0,26". После многовековой попытки определить расстояния до звезд, астрономы наконец-то смогли это сделать посредством измерения параллакса.

Бесселем также было выдвинуто предложение определять календарный (тропический) год, начинающийся одновременно на всей территории Земли. Началом такого года должен был служить момент, когда прямое восхождение среднего экваториального Солнца достигало значения 18 часов 40 минут («Бесселев фиктивный год»).

Известен Бессель и своими достижениями в области геодезии. Он дал классическое определение длины секундного маятника, изобрел базисный прибор. Проведя совместно с И. Я. Байером триангуляцию в Восточной Пруссии (1831-1841) Бесселю удалось на основании десятки лучших замеров длины градуса меридиана определить элементы земного сфероида («Эллипсоид Бесселя»), используемого в геодезии почти 100 лет.

Фридрих Вильгельм Бессель с 1814 года являлся иностранным почетным членом Петербургской АН.

Немецкий математик и астроном. Внёс большой вклад в изучение масштабов Вселенной.

Биография

Родился в 1874 г. в небольшом городе Минден в Германии в семье мелкого чиновника. Образования не получил – не обучался даже в гимназии, но усердно занимался самообразованием. Эти занятия были настолько успешными, что Бессель не только получил докторскую степень Гёттингенского университета и стал профессором, но и внес значительный вклад в науку.

Но трудовой путь он начал конторщиком в 15 лет. Путь в науку был предопределен самим его характером и складом ума. Систематичность, основательность, прирожденный математический талант превращали будущего коммерсанта... в ученого: он «слишком» серьезно готовился и к своей торговой карьере и, помимо изучения языков (английского, испанского, французского), географии и обычаев народов, считал совершенно необходимым досконально изучить и освоить навигационную астрономию. Вскоре он достиг и первых успехов: в 1803 г. по наблюдению покрытия звезд Луной с помощью грубых самодельных инструментов сумел определить долготу Бремена.

Труднейшую «Небесную механику» Лапласа и необходимую для ее понимания высшую математику он мог изучать лишь в свободные от работы утренние и ночные часы. В 1804 г. он знакомится с выдающимся бременским астрономом и врачом Г. В. М. Ольберсом, которого он познакомил с вычисленным им элементам орбиты кометы Галлея по наблюдениям Т. Гарриота и Лорпорлея 1607 г. Работа вызвала восторженный отзыв Ольберса, была опубликована с его предисловием, в котором он представлял Бесселя ученому миру, и положила начало большой дружбе этих двух астрономов, которая дополнилась еще и дружбой Бесселя и К. Гаусса.

19 марта 1806 г. Бессель начал в Лилиентале свою научную деятельность с проверки всех измерительных приборов и инструментов обсерватории и пересмотра методов математической обработки результатов наблюдений, хотя одновременно продолжал заниматься кометами и за вычисление орбиты кометы 1807 г. получил премию.

Работал в Кёнигсбергском университете, где под его руководством была построена обсерватория, директором которой он оставался до конца своей жизни. Он создал немецкую школу точных наблюдений в астрономии. В России во многом по его стопам пошла Пулковская обсерватория.

В историю науки Бессель вошел и как один из крупных математиков. Бессель опубликовал около 400 научных работ и оставил большую переписку с учеными, где также излагал свои идеи и результаты. Он читал и популярные лекции по физике и астрономии. Заслуги ученого были высоко оценены избранием в члены многих академий, в том числе Берлинскую (1812 г.), и в иностранные почетные члены Петербургской академии наук (1814 г.), а также многих научных обществ.

Достижения в астрономии

Уже в возрасте 20 лет он вычислил орбиту кометы Галлея.

Бессель – один из основателей астрометрии

Астрометрия - раздел астрономии, главной задачей которого является изучение геометрических, кинематических и динамических свойств небесных тел. Бессель считал, что необходимо вносить в результаты наблюдений поправки, учитывающие любые, самые незначительные факторы, понижающие точность астрометрических измерений. Он разработал математические методы исправления результатов наблюдений. Первой большой работой Бесселя была переработка результатов наблюдений положений звезд в каталоге, составленном в XVIII веке английским астрономом Д. Брадлеем. Он определил положение 75 000 звезд и создал каталоги, ставшие основой современных знаний о звездном небе.

Измерение параллаксов

Параллакс - изменение видимого положения объекта относительно удалённого фона в зависимости от положения наблюдателя, мы об этом неоднократно говорили на нашем сайте.

Бессель был одним из первых астрономов, измеривших параллаксы и тем самым расстояния до звезд: в 1838 г. он измерил расстояние до звезды 61 Лебедя. Эта звезда оказалась одной из ближайших к Солнечной системе. В 1841 г. по данным многих измерений он вычислил размеры земного эллипсоида, которые широко применялись в геодезии и картографии вплоть до середины ХХ века. В Европе он используется в Германии, Австрии, Швейцарии, Чехии и странах бывшей Югославии, а также в Индонезии, Японии, Эритрее и Намибии.

Открытие спутников Сириуса и Проциона

В 1844 г. Фридрих Бессель обнаружил, что Сириус, ярчайшая звезда неба, периодически, хотя и весьма слабо, отклоняется от прямолинейной траектории движения по небесной сфере. Бессель пришёл к выводу, что у Сириуса должен быть невидимый «тёмный» спутник, причём период обращения обеих звёзд вокруг общего центра масс должен быть порядка 50 лет. Сообщение было встречено скептически, поскольку тёмный спутник оставался ненаблюдаемым, а его масса должна была быть достаточно велика - сравнимой с массой Сириуса.

В январе 1862 г. Альван Грэхэм Кларк в обсерватории Чикагского университета обнаружил в непосредственной близости от Сириуса тусклую звёздочку. Это был тёмный спутник Сириуса, Сириус B, предсказанный Бесселем.

Хотя главная звезда созвездия Малого Пса - желтоватый Процион - уступает Сириусу и в размерах, и в температуре, и в светимости, между этими звездами есть нечто общее. Обе они возглавляют маленькие созвездия, в которых ни одна из звезд не может соперничать с ними в яркости. Обе звезды имеют в качестве спутников белые карлики, истории открытия которых весьма сходны.

Наблюдая некоторое время яркие звезды Сириус и Процион, Бессель обнаружил в их движении особенности, которые можно было объяснить только тем, что эти звезды имеют спутников. Но эти спутники настолько слабы по светимости, что их невозможно было увидеть в телескопы того времени. Предположения Бесселя подтвердились: в 1862 г. был обнаружен спутник Сириуса, а в 1896 г. – спутник Проциона. Самой близкой другой звездой к Сириусу является Процион.

А что же мы знаем о Проционе и его спутнике?

Процион, желтоватая звезда 0,5М, обладает светимостью, лишь в 5,8 раза превосходящей светимость Солнца . Он несколько крупнее Солнца и немного горячее - температура его поверхности близка к 7000 К. Как и Сириус, Процион - одна из соседних к нам звезд: расстояние до него равно 3,5 пк. Эта звезда сама по себе ничем не замечательна, и если бы не близость к Земле (а поэтому и значительная видимая яркость), мы не обратили бы на нее никакого внимания. Другое дело - спутник Проциона . Рассмотреть эту звездочку 11-й зв. величины, находящуюся от Проциона на среднем расстоянии 4,- задача совершенно непосильная для рядового любителя астрономии. Эта маленькая звездочка излучает света почти в 10 раз меньше, чем спутник Сириуса, и представляет собой еще более плотный белый карлик, чем Щенок. Но сходство двух странных содружеств совершенно непохожих друг на друга звезд (Сириуса и Проциона с их карликовыми спутниками) бесспорно.

Астрономы мира. Фридрих Вильгельм Бессель. К 220 - летию со дня рождения

Фридрих Вильгельм Бессель родился 22 июля 1784 г. в г. Миндене в Вестфалии (ныне в ФРГ) в семье мелкого судебного чиновника и с 15 лет должен был встать на самостоятельный трудовой путь. Правда, это вполне отвечало тогда и его желаниям: с ранних лет ему было свойственно стремление к практической деятельности и лишь к тем знаниям, которые можно было тут же применить. В 13 лет он бросил гимназию из-за ненависти к зубрежке латыни и продолжал обучение дома под руководством отца. Обладая исключительно острым зрением, он в 14 лет открыл визуально двойственность эпсилон Лиры, что не могло не вдохновить его на дальнейшие наблюдения неба. Но с не меньшей радостью и надеждами он, по рекомендации друга семьи, отправился в Бремен и с 1799 г. на целых семь лет занял место ученика конторщика в крупном торговом доме «Кулепкамп и сыновья».

Практический ум Бесселя нашел для себя и в этой области богатую пищу. Бессель быстро постигал основы и тонкости коммерческого дела, мечтая о далеких плаваниях... Но, когда в 1805 г. ему было предложено место и значительное содержание в 700 талеров в год, он внезапно, по выражению известного историка астрономии Агнессы Кларк, «предпочел бедность и звезды», поступив ассистентом на частную обсерваторию И. Шрётера в пригороде Бремена Лилиентале, с ничтожным жалованьем в 100 талеров. Для самого Бесселя это, конечно, не было внезапным. Путь в науку был в значительной степени предопределен самим его характером и складом ума. Систематичность, основательность, прирожденный математический талант превращали даже будущего коммерсанта... в ученого: он «слишком» серьезно готовился и к своей торговой карьере и, помимо изучения языков (английского, испанского, французского), географии и обычаев народов, считал совершенно необходимым (вопреки представлениям окружавших его людей) досконально изучить и освоить навигационную астрономию. Уже первые его успехи в этом, когда он к 1803 г. по наблюдению покрытия звезд Луной с помощью грубых самодельных инструментов сумел определить долготу Бремена, окрылили его.

Не удовлетворившись английским учебником по практической навигации, где формулы и правила давались без вывода и научного обоснования, Бессель углубился в изучение собственно астрономии (опять-таки по весьма «практической» причине: без вывода формула не запоминалась им). Он изучал «Астрономию» Лаланда и, узнав о законах Кеплера, сразу захотел вычислить орбиту только что открытой малой планеты Цереры! В написанных по этому поводу словах из его письма к брату: «Иначе к чему мне законы Кеплера?» - четко отразился стиль Бесселя - будущего ученого. Он относился к знаниям как к рабочему инструменту для решения конкретных научных задач. И если в 1801 г., отвлеченный от астрономии ежедневной 12-часовой работой, он признавался, что позабыл даже знакомые прежде звезды, то спустя год он уже решил самостоятельно задачу с орбитой Цереры и писал брату, что «математика» самая увлекательная наука из всех наук. Вместе с астрономией она заменяет мне... развлечения, которые я знаю только по имени».

Между тем труднейшую «Небесную механику» Лапласа и необходимую для ее понимания высшую математику он мог изучать лишь в свободные от работы утренние и ночные часы. Но подлинным посвящением в астрономию стало его знакомство в 1804 г. с выдающимся бременским астрономом и врачом Г. В. М. Ольберсом. Поводом к этому послужило вычисление Бесселем в 1804 г. элементов орбиты кометы Галлея по наблюдениям Т. Гарриота и Лорпорлея 1607 г. Работа вызвала восторженный отзыв Ольберса, была опубликована с его предисловием, в котором он представлял Бесселя ученому миру, и положила начало большой дружбе этих двух астрономов, которая дополнилась еще и дружбой Бесселя и К. Гаусса. 19 марта 1806 г. Бессель начал в Лилиентале свою научную деятельность с проверки всех измерительных приборов и инструментов обсерватории и пересмотра методов математической обработки результатов наблюдений, хотя одновременно продолжал заниматься кометами и за вычисление орбиты кометы 1807 г. получил премию им. Лаланда. Точность измерений положений и движений небесных светил зависит, помимо совершенства инструментов от точности самих опорных каталогов звезд, которые во времена Бесселя не отличались строгостью и, главное, были несравнимы друг с другом из-за субъективного подхода наблюдателей к учету разных ошибок.

Между тем с течением времени назрела необходимость в ревизии основных астрономических постоянных: прецессии, нутации, аберрации а также рефракции, знание которых было необходимо при определении собственных движений звезд. Несопоставимость различных каталогов коренилась и в так называемой «личной ошибке» наблюдателя, открытой Бесселем. Создание новой точной астрометрии, опиравшейся на математическую теорию ошибок инструментов, на строгие методы обработки наблюдений, стало главным делом жизни Бесселя. Эту свою миссию Бессель в полной мере мог выполнить в новой обсерватории в Кенигсберге (ныне Калининград), которая была построена и оснащена инструментами по его собственному плану и где впервые наблюдения и обработка результатов велись по новой строго научной системе методами, введенными Бесселем.

Именно ему в 1809 г. было предложено создать и возглавить эту вторую после Берлинской (1705 г.) правительственную (университетскую) обсерваторию в Германии. С 1810 г. он стал также профессором математики и астрономии в Кенигсбергском университете. С 1813 г. - года открытия обсерватории - и до конца своей жизни Бессель не прекращал напряженной, исключительно плодотворной наблюдательной и вычислительной работы в Кенигсберге. Он создал немецкую школу точных наблюдений в астрономии. Его блестящим учеником и продолжателем стал Ф. Аргеландер. В России во многом по его стопам пошла и достигла на этом пути величайших успехов Пулковская обсерватория, с первым директором которой, как и с некоторыми другими петербургскими академиками, Бессель поддерживал тесные дружеские связи. Первой крупной работой Бесселя в астрометрии стала начатая им еще у Шрётера обработка самых точных в XVIII в. наблюдений положений звезд Брадлея за 1750- 1762 гг. на основании учета всех погрешностей его инструментов. Составленный в результате точный каталог положений 3222 звезд на эпоху 1755 г. Бессель опубликовал в работе «Основы астрономии» (1818 г.).

Путем сравнения этого каталога с новыми каталогами Пиацци (1803 и 1814 гг.) Бессель уточнил постоянные прецессии, нутации, аберрации, определил собственные движения ряда звезд. Составленные им новые таблицы рефракции надолго вошли в практику астрономических наблюдений. В 1821-1833 гг. Бессель провел колоссальную самостоятельную работу на меридианном круге Рейхенбаха, измерив положения всех звезд до 9" в зоне склонений от -15° до +45°.(всего 75011 наблюдений). Работа впервые сопровождалась тщательным исследованием и учетом всевозможных погрешностей инструмента и самого наблюдателя. Значительная часть этих наблюдений, обработанная дополнительно, краковским астрономом М. Вейссе, была опубликована Петербургской академией наук в 1846 г. уже после кончины Бесселя («Каталог Вейссе», 31895 звезд в зоне: -15°-+15°). Новым крупным шагом в развитии практической астрономии стали «Кенигсбергские таблицы» Бесселя (1830 г.) где излагались разработанные им на основе теории вероятностей и способа наименьших квадратов методы редукции наблюдений. Они впервые делали астрометрию стандартизованной современной наукой. Полная реорганизация астрометрических наблюдений Бесселем позволила резко повысить их точность до 0",1, т. е. в 10 раз по сравнению с точностью наблюдений Брадлея. В результате почта одновременно трем астрономам В. Я. Струве, Ф. В. Бесселю и Т. Гендерсону удалось впервые измерить неуловимые в течение столетий звездные параллаксы!

Бессель безуспешно пытался решить эту задачу еще в 1815 г. Но успех был достигнут им лишь спустя 23 года с помощью нового и самого точного в то время измерительного инструмента - гелиометра Фраунгофера, изготовленного для Кенигсбергской обсерватории. Точность измерения малых углов на нем достигала 0",05. В отличие от всех, кто до него пытался измерить звездный параллакс, Бессель выбрал звезду не по яркости, а по значительной величине собственного движения (что казалось ему более надежным признаком ее близости). Такой «летящей звездой» оказывалась слабая двойная звезда (5,6 и 6,3m) 61 Лебедя с собственным движением 5",2 в год. Применив, как и Струве, более эффективный метод дифференциальных параллаксов (метод Галилея), Бессель с июля 1837 по октябрь 1838 гг. провел длинный ряд наблюдений относительных положений исследуемой двойной системы звезд и двух намного более слабых (т. е. далеких) соседних с нею звездочек и уловил параллактическое смещение 61 Лебедя. Опубликованное им в ноябре 1838 г. значение ее параллакса (0",314) оказалось ближе к современным данным (0",292), чем повторный результат, полученный им по 402 измерениям, законченным к 1840 г. (0",3483).

Немного ранее опубликованные измерения В. Я. Струве (для Веги), результат Бесселя (который был воспринят современниками с наибольшим доверием) и появившиеся вскоре данные Т. Гендерсона (для а Центавра) впервые убедительно показали колоссальность масштабов звездной Вселенной. Интересно, что эти точные измерения тригонометрических параллаксов в целом подтвердили первые фотометрические оценки межзвездных расстояний Гюйгенса и особенно Ламберта (для Сириуса). Если измерение звездного параллакса принесло Бесселю золотую медаль Лондонского королевского астрономического общества и мировую славу, то второе замечательное открытие его в звездной астрономии не получило признания при жизни ученого. Между тем оно имело принципиальное значение. Изучая собственные движения звезд, Бессель в 1834 г. обратил внимание на еле заметные, но характерные особенности этого движения у самой яркой звезды неба - Сириуса, а к 1840 г. установил то же для самой яркой в созвездии Малого Пса - звезды Процион: пути обеих звезд оказывались слегка волнистыми, или «змеевидными».

Для объяснения явления Бессель выдвинул смелую идею, предположив, что обе звезды имеют невидимых темных спутников, которые возмущают прямолинейное, на наблюдаемом отрезке времени, движение главной, видимой звезды. Этот вывод он опубликовал в результате длинного ряда тщательнейших наблюдений на новом инструменте обсерватории - меридианном круге Репсольда. Период обращения спутников он оценил в обоих случаях примерно в 50 лет. Заключение Бесселя, развитое им вскоре в письме к А. Гумбольдту, имело и намного более общий смысл, нежели открытие новых двойных систем звезд, пусть даже с весьма слабо светящимися спутниками (которые, кстати, тогда принимали за формирующиеся, остывающие планеты). По поводу своего открытия Бессель писал: «Тот факт, что мы видим бесчисленное множество ярко блистающих звезд, не может еще сам по себе служить доводом для того, чтобы отрицать возможность существования бесчисленного множества темных невидимых звезд».

Это заявление Бесселя, хотя и не совсем новое (ибо существование таких тел предполагали Кант и Лаплас), но впервые утверждавшее существенную (а не экзотическую) роль таких тел во Вселенной, позволяет в новом, современном нам смысле назвать Бесселя если не основателем (как это утверждалось в конце XIX - начале XX вв.), то предвестником «астрономии невидимого». Эта его идея перекликается с современными поисками «скрытой массы» во Вселенной. Но она не укладывалась в общепринятую тогда астрономическую картину мира. Лишь в 1851 г. американский астроном Петере подтвердил вывод Бесселя о Сириусе и рассчитал положение спутника. А в 1862 г, сын и отец Кларки - знаменитые американские оптики, при испытании 18-дюймового рефрактора внезапно обнаружили этот спутник в виде звездочки не ярче 8". Спутник Проциона впервые обнаружил в 1896 г. американский астроном Шеберле на Ликской обсерватории (Маунт Гамильтон в Калифорнии) как звездочку 13m. Подтвердились и предсказанные Бесселем периоды обращения спутников.

Но главный сюрприз был впереди: в 1914 г. было установлено для Сириуса (У. Адаме, США), а затем и для Проциона, что оба спутника являются представителями нового неизвестного ранее типа звезд - «белых карликов» (со средней плотностью вещества в сотни кг/см3!). Бессель близко подошел и к открытию еще одной планеты за Ураном. О своем убеждении в этом он сообщил в письме к Д. Гершелю в 1842 г., проанализировав материалы об особенностях движения Урана (которые Бессель собрал с помощью своего ученика Ф. В. Флеминга). Планета (Нептун) была открыта спустя несколько месяцев после смерти Бесселя, причем с помощью Берлинских академических карт звездного неба, изданных по инициативе и с участием Бесселя. (Продолжение этого картографирования неба завершил Аргеландер своим знаменитым «Боннским обозрением».) В 1844 г. в письме к А. Гумбольдту Бессель сделал другой странный для его современников вывод.

Измеряя в течение двух лет широту Кенигсберга, он заключил, что высота полюса непостоянна, и объяснил это движением оси вращения в теле планеты. Предсказание Бесселя стало доказанным фактом уже к концу XIX в. В планетной астрономии Бесселю принадлежит разработка теории и составление таблиц солнечных затмений (теория используется и в наши дни), определение массы и сжатия Юпитера, массы Сатурна, изучение его колец, орбит его спутников, особенно Титана. В 1835 г. в связи с возвращением кометы Галлея Бессель построил одну из первых теорий движения частиц в голове комет (пионером в этой области был Г. В. Брандес) - так называемую «фонтанную». Это была первая математическая теория комет. Бессель опирался в ней на идею существенной роли полярных (электрических) сил в свечении хвоста комет (высказывавшуюся еще Ломоносовым) и на идею отталкивательной силы Солнца, действующей на «вещество светлых лучей», выходящих из ядра кометы. (Идея высказана была впервые Кеплером, но фактом, научно доказанным, световое давление на газы стало только после опытов П. Н. Лебедева, 1909 г.).

Теория Бесселя стимулировала работы крупнейшего теоретика комет конца XIX - начала XX вв. Ф. А. Бредихина. Помимо астрономии. Бессель внес значительный вклад в геодезию. В 1832-1838 гг. он совместно с И. Байером провел градусные триангуляционные измерения в Восточной Пруссии, откликнувшись на пожелания Петербургской академии наук. В работе существенную роль сыграл изобретенный Бесселем базисный прибор. Измеренная им дуга меридиана (1°30"29") сомкнулась с большой дугой, измеренной В. Я. Струве и К. И. Теннером (более 20°). Но главным результатом Бесселя было здесь определение им [на основе анализа всех имевшихся тогда (десяти) градусных измерений в Европе и Азии] элементов земного сфероида, которые оставались более века самыми точными (до введения в 1941 г. в геодезии эллипсоида Красов-ского).

В историю науки Бессель вошел и как один из крупных математиков, автор теории применения так называемых цилиндрических функций («функции Бесселя») для вычисления возмущенного движения планет. Эти функции, как и соответствующее им дифференциальное «уравнение Бесселя», впоследствии нашли и значительно более широкое применение в теоретической физике (в теории теплопроводности, диффузии, колебаний). Бессель опубликовал около 400 научных работ и оставил большую переписку с учеными, где также излагал свои идеи и результаты. Он читал и популярные лекции по физике и астрономии. Заслуги ученого были высоко оценены избранием в члены многих академий, в том числе Берлинскую (1812 г.), и в иностранные почетные члены Петербургской академии наук (1814 г.), а также многих научных обществ. Умер Ф. В. Бессель 17 марта 1846 г. в Кенигсберге и был похоронен близ обсерватории. Именем Бесселя назван кратер на видимой стороне Луны.

По материалам А.И. Еремеевой: АК-1984, АК-1989. Распознавание и подготовка в электронном виде -