Buod ng aralin "Pagkakapareho ng isang bilog. Ang magkakasamang pagsasaayos ng mga lupon sa isang eroplano." Ang kamag-anak na posisyon ng dalawang bilog

Mga tanong sa aralin:

· Alalahanin kung anong uri ng equation ang isang bilog na nakasentro sa isang punto na may mga coordinate (x 0; y 0 ) at radius r;

· Ulitin ang form ng equation ng isang bilog na may gitna sa pinagmulan at radius r;

· Alalahanin kung paano matatagpuan ang dalawang bilog sa isang eroplano.

Materyal ng aralin

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagunita kung paano namin nakuha ang equation ng isang bilog na nakasentro sa isang punto kasama ang mga coordinate (x 0; y 0 ) at radius r.

Hayaan ang gitna ng bilog ay magkaroon ng mga coordinate:

Kumuha ng isang di-makatwirang punto sa bilog. Sinusulat namin ang formula para sa distansya sa pagitan ng mga puntos.

Alam namin na ang haba ng segment na nag-uugnay sa anumang punto sa bilog na may gitna ng bilog ay ang radius.

Isaalang-alang ang problema.

Isang halimbawa.

Isaalang-alang natin ang isa pang gawain.

Isang halimbawa.

Ngayon subukan nating lutasin ang problema nang kabaligtaran sa data. Iyon ay, upang gumuhit ng isang equation ng bilog mula sa pagguhit.

Isang halimbawa.

Malutas natin ang isa pang problema.

Paglutas ng mga gawain, gumanap kami ng parehong pamamaraan. Ulitin ulit ang order na ito.

Upang mabuo ang equation ng isang bilog at itayo ito, dapat mong:

1. Hanapin ang mga coordinate ng gitna ng bilog.

2. Hanapin ang haba ng radius ng bilog na ito.

3. Isulat ang equation ng bilog.

4. Halitan ang mga nakuha na halaga sa equation ng bilog.

5. Bumuo ng isang bilog kung kinakailangan upang malutas ang problema.

Isaalang-alang natin ang isa pang gawain.

Isang halimbawa.

Ngayon tandaan kung paano matatagpuan ang dalawang bilog sa isang eroplano.

Una, inilista namin ang lahat ng posibleng mga kaso ng magkakasamang pag-aayos.

Una, isinasaalang-alang namin ang kaso kapag nag-tutugma ang mga sentro ng bilog.

Ang ganitong mga bilog ay tinatawag concentric. Kung ang radii ng mga bilog ay hindi pantay, kung gayon ang mga naturang bilog ay bumubuo ng isang singsing. Kung ang radii ng mga bilog ay pantay-pantay, magkakasabay ang mga bilog.

Ngayon tingnan natin ang mga kaso kapag ang mga sentro ng bilog ay hindi nagkakasabay. Ikonekta ang mga ito nang diretso dna tinawag natin ang gitnang linya ng isang naibigay na pares ng mga bilog.

Sa kasong ito, ang kamag-anak na posisyon ng mga lupon ay depende sa relasyon sa pagitan ng halaga d at mga halaga ng radii ng mga bilog. Upang mailinaw kung aling mga bilog ang pinag-uusapan natin, ang radius ng isa sa mga bilog ay ipinapahiwatig ng rat ang radius ng pangalawang bilog ay lampas R. At ipapalagay namin iyon r ≤ R.

Kung d > r+ R, pagkatapos ay malinaw na ang mga bilog ay hindi lumaliko. Sa kasong ito, sinabi nila iyon ang isang bilog ay namamalagi sa labas ng kabilang.

Kung d < R – rpagkatapos ang isang bilog ay namamalagi sa loob ng isa pa, ngunit hindi sila lumilitaw.

Kung d = R – rpagkatapos ang maliit na bilog ay namamalagi sa loob ng malaki, ngunit may isang pangkaraniwang punto kasama ito sa linya ng mga sentro. Ang kasong ito ay tinatawag panloob na pagpindot, at tinawag ang gayong mga bilog nauugnay sa loob.

Kung R – r < d < R + r, pagkatapos ay ang mga bilog ay lumaliko sa dalawang puntos at tinawag intersect.

Kung d = R + r, pagkatapos ang mga naturang bilog ay may isang pangkaraniwang punto, at ang sentro ng isa sa mga ito ay matatagpuan sa labas ng pangalawang bilog. Ang ganitong uri ng ugnayan ay tinatawag panlabas na ugnay, at tinawag ang gayong mga bilog panlabas na hawakan. Ang punto ng pakikipag-ugnay sa mga panlabas na paghawak ng mga bilog ay nasa linya ng mga sentro.

Malutas namin ang maraming mga problema.

Isang halimbawa.

Isaalang-alang natin ang isa pang gawain.

Isang halimbawa.

Malutas natin ang isa pang problema.

Buod ng Aralin

Ngayon sa aralin, naalala namin kung anong uri ng equation ang bilog sa gitna sa punto sa mga coordinate (x 0; y 0 ) at radius r. Inulit namin ang form ng equation ng isang bilog na may sentro sa pinagmulan at radius r. Naalala namin kung paano matatagpuan ang dalawang bilog sa isang eroplano.

Tema ng aralin: " Ang kamag-anak na posisyon ng dalawang bilog sa eroplano. "

Layunin :

Pang-edukasyon - natututo ng bagong kaalaman tungkol sa kamag-anak na posisyon ng dalawang bilog, naghahanda para sa pagsubok

Pagbuo - pagbuo ng mga kasanayan sa computational, pagbuo ng lohikal at istruktura na pag-iisip; ang pagbuo ng mga kasanayan upang makahanap ng mga makatwirang solusyon at makamit ang mga resulta ng pagtatapos; pag-unlad ng aktibidad na nagbibigay-malay at pag-iisip ng malikhaing.

Pang-edukasyon – ang pagbuo ng responsibilidad ng mga mag-aaral, sistema; pag-unlad ng mga katangian ng cognitive at aesthetic; ang pagbuo ng impormasyon ng kultura ng mga mag-aaral.

Tama - upang makabuo ng spatial na pag-iisip, memorya, liksi ng kamay.

Uri ng Aralin: ang pag-aaral ng bagong materyal na pang-edukasyon, pagsasama-sama.

Uri ng aralin: halo-halong aralin.

Paraan ng Pagsasanay: pandiwang, biswal, praktikal.

Porma ng pag-aaral: sama-sama.

Mga tool sa Pag-aaral: board

ARALING ARALIN:

1. yugto ng pang-organisasyon

- pagbati;

- pagpapatunay ng paghahanda para sa aralin;

2. Pag-update ng kaalaman sa pagsuporta.
Anong mga paksa ang nasakop namin sa mga nakaraang aralin?

Pangkalahatang view ng equation ng isang bilog?

Tumakbo nang pasalita:

Blitz survey

3. Pagpapakilala ng bagong materyal.

Ano sa palagay mo at anong pigura ang isasaalang-alang natin ngayon…. At kung may dalawa ??

Paano sila matatagpuan ???

Ipinakita ng mga bata sa kanilang mga kamay (kapitbahay) kung paano maiayos ang mga bilog ( pisikal na edukasyon)

Sa gayon, ano sa palagay mo ang dapat nating isaalang-alang ngayon? Ngayon dapat nating isaalang-alang ang kamag-anak na posisyon ng dalawang bilog. At alamin kung ano ang distansya sa pagitan ng mga sentro, depende sa lokasyon.

Paksa ng Aralin:« Ang kamag-anak na posisyon ng dalawang bilog. Paglutas ng problema.»

1. Mga bilog na concentric

2. Mga hindi balidong mga bilog

3. Walang katapusang pagpindot

4. Nakakalusot na mga bilog

5. Panloob na Touch

Kaya magtapos tayo

4. Pagbubuo ng mga kasanayan

Hanapin ang error sa data o sa pahayag at iwasto ito, pinatunayan ang iyong opinyon:

A) Dalawang bilog ay tangent. Ang kanilang radii ay pantay sa R \u200b\u200b\u003d 8 cm at r \u003d 2 cm, ang distansya sa pagitan ng mga sentro d \u003d 6.
B) Ang dalawang bilog ay may hindi bababa sa dalawang karaniwang puntos.

C) R \u003d 4, r \u003d 3, d \u003d 5. Ang mga bilog ay walang pangkaraniwang puntos.

D) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. Ang mas maliit na bilog ay matatagpuan sa loob ng mas malaki.

E) Hindi matatagpuan ang dalawang bilog upang ang isa ay nasa loob ng isa.

5. Ang pagsasama-sama ng mga kasanayan.

Ang mga bilog na hawakan sa panlabas. Ang radius ng mas maliit na bilog ay 3 cm. Ang radius ng mas malaki ay 5 cm. Ano ang distansya sa pagitan ng mga sentro?

Solusyon: 3 + 5 \u003d 8 (cm)

Ang mga bilog ay humipo sa loob. Ang radius ng mas maliit na bilog ay 3 cm. Ang radius ng mas malaking bilog ay 5 cm. Ano ang distansya sa pagitan ng mga sentro ng mga bilog?

Solusyon: 5-3 \u003d 2 (cm)

Ang mga bilog ay humipo sa loob. Ang distansya sa pagitan ng mga sentro ng mga bilog ay 2.5 cm.Ano ang mga radii ng mga bilog na katumbas?

sagot: (5.5 cm at 3 cm), (6.5 cm at 4 cm), atbp.

PAGSUSULIT NG PAGSUSULIT

1) Paano maiayos ang dalawang bilog?

2) Sa anong kaso ang mga bilog ay may isang pangkaraniwang punto?

3) Ano ang karaniwang punto ng dalawang bilog?

4) Anong mga touch ang alam mo?

5) Kailan gumagalaw ang mga bilog?

6) Anong mga bilog ang tinatawag na concentric?

Mga karagdagang gawain sa paksa: Vectors. Pamamagitan ng paraan"(Kung naiwan ang oras)

1) E (4; 12), F (-4; -10), G (-2; 6), H (4; -2) Hanapin:

a) ang mga coordinate ng mga vectors EF, GH

b) ang haba ng vector FG

c) mga coordinate ng point O - midpoint EF

coordinates ng point W - midpoint GH

d) ang equation ng isang bilog na may diameter ng FG

d) ang equation ng linya ng FH

6. Takdang-aralin

& 96 Hindi 1000. Alin sa mga equation na ito ay mga equation ng bilog. Maghanap ng sentro at radius

7. Pagbubuod ng aralin(3 minuto)

(magbigay ng isang husay na pagtatasa ng gawain ng klase at mga indibidwal na mag-aaral).

8. Yugto ng pagmuni-muni(2 minuto)

(simulan ang pagmuni-muni ng mga mag-aaral tungkol sa kanilang kalagayan sa emosyonal, kanilang mga aktibidad, pakikipag-ugnay sa guro at mga kaklase sa tulong ng mga guhit)

Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation

Institusyong pang-edukasyon sa pang-munisipal na institusyon

lungsod ng Novosibirsk "Gymnasium No. 4"

Seksyon: matematika

GAWAIN SA PANANALIKSIK

sa paksa:

MGA KATOTOHANAN NG IKALAWANG PAGKONSULAT NG CIRCLE

Mga mag-aaral ng grade 10:

Khaziahmetov Radik Ildarovich

Zubarev Evgeny Vladimirovich

Ulo:

L.L. Barinova

Guro ng matematika

Pinakamataas na kategorya ng kwalipikasyon

§ 1. Panimula ……… .. …………………………. ……………………………………………………… 3

§ 1.1 Ang kamag-anak na posisyon ng dalawang bilog .............................................................. 3

§ 2 Mga katangian at kanilang katibayan ………………………………… .. …………… ..... .... ... 4

§ 2.1 Ari-arian 1 ...................... .............................. ...................... ... 4

§ 2.2 Ari-arian 2 …………………………………………… .. ………………… ... ……… 5

§ 2.3 Ari-arian 3 …………………………………………… .. ………………… ... ……… 6

§ 2.4 Ari-arian 4 …………………………………………… .. ………………… ... ……… 6

§ 2.5 Ari-arian 5 ………………………………… .. ………………………………… ...…… 8

§ 2.6 Ari-arian 6 ……………………………………………… .. ……………………… ... ……… 9

§ 3 Gawain …………………………………………… .. ………………… ... ... ... ............. ... 11

Mga Sanggunian …………………………………………… .. ………… .13

§ 1. Panimula

Maraming mga problema, kabilang ang dalawang mga bilog na padaplis, ay maaaring malutas nang mas maikli at simple, alam ang ilan sa mga pag-aari na maipakita mamaya.

Ang kamag-anak na posisyon ng dalawang bilog

Upang magsimula sa, itatakda namin ang posibleng magkakasamang pagsasaayos ng dalawang bilog. Maaaring mayroong 4 na magkakaibang mga kaso.

1. Ang mga lupon ay maaaring hindi bumalandra.

2. Pag-intay.

3. Pindutin ang isang punto sa labas.

4. Pindutin ang isang punto sa loob.

§ 2. Mga Katangian at kanilang katibayan

Nagpapatuloy kami nang direkta sa patunay ng mga katangian.

§ 2.1 Ari-arian 1

Ang mga segment sa pagitan ng mga punto ng intersection ng mga tangents na may mga bilog ay pantay-pantay sa bawat isa at katumbas ng dalawang geometric na mean radii ng ibinigay na mga bilog.

Katunayan 1. О 1 А 1 at О 2 В 1 - radii na iginuhit sa mga punto ng tangency.

2. А 1 А 1 ┴ А 1 В 1, О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1. (Sa ilalim ng item 1)

▲ О 1 О 2 D - hugis-parihaba, sapagkat О 2 D ┴ О 2 В 1
O 1 O 2 \u003d R + r, O 2 D \u003d R - r

Sa pamamagitan ng Pythagorean Theorem A 1 B 1 \u003d 2√Rr

(O 1 D 2 \u003d (R + r) 2 - (R-r) 2 \u003d R 2 + 2Rr + r2-R 2 + 2Rr-r 2 \u003d √4Rr \u003d 2√Rr)

A 2 B 2 \u003d 2√Rr (napatunayan na katulad)

1) Iguhit ang radii sa mga punto ng intersection ng mga tangents gamit ang mga bilog.

2) Ang mga radii na ito ay magiging patayo sa mga tangents at kahanay sa bawat isa.

3) I-drop ang patayo mula sa gitna ng mas maliit na bilog hanggang sa radius ng mas malaking bilog.

4) Ang hypotenuse ng nagresultang kanang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng radii ng mga bilog. Ang isang binti ay pantay sa kanilang pagkakaiba.

5) Sa pamamagitan ng teorema ng Pythagorean, nakukuha namin ang nais na kaugnayan.

§ 2.2 Ari-arian 2

Ang mga punto ng intersection ng isang linya na intersect ang tangent point ng mga bilog at hindi nagsisinungaling sa alinman sa mga ito na may mga tangents bisect ang mga segment ng mga panlabas na tangents na hangganan ng mga tangent point sa mga bahagi, ang bawat isa ay katumbas ng geometric na kahulugan ng radii ng mga bilog na ito.

Katunayan 1.MS \u003d МА 1 (bilang mga segment ng tangents)

2.MS \u003d MV 1 (bilang mga segment ng tangents)

3.A 1 M \u003d MV 1 \u003d √Rr, A 2 N \u003d NB 2 \u003d √Rr (ayon sa mga puntos 1 at 2 )

Mga pahayag na ginamit sa patunay Ang mga segment ng mga tangents na iginuhit mula sa isang punto hanggang sa ilang bilog ay pantay. Ginagamit namin ang pag-aari na ito para sa parehong mga naibigay na bilog.

§ 2.3 Ari-arian 3

Ang haba ng segment ng panloob na tangent na nakapaloob sa pagitan ng mga panlabas na tangents ay katumbas ng haba ng segment ng panlabas na tangent sa pagitan ng mga punto ng tangency at katumbas ng dalawang geometric na mean radii ng mga bilog na ito.

Katunayan Ang konklusyon na ito ay sumusunod mula sa nakaraang pag-aari.

MN \u003d MC + CN \u003d 2MC \u003d 2A 1 M \u003d A 1 B 1 \u003d 2√Rr

§ 2.4 Ari-arian 4

Ang tatsulok na nabuo ng mga sentro ng mga bilog ng tangent at sa gitna ng segment ng tangent sa pagitan ng radii na iginuhit sa mga punto ng tangency ay hugis-parihaba. Ang ratio ng mga binti nito ay katumbas ng quotient ng mga ugat ng radii ng mga bilog na ito.

Katunayan 1.MO 1 - bisector ng anggulo A 1 MS, MO 2 - bisector ng anggulo B 1 MS, sapagkat ang gitna ng bilog na nakasulat sa sulok ay namamalagi sa bisector ng anggulong ito.

2. Sa ilalim ng item 1, РО 1 МС + РМОМО 2 \u003d 0.5 (РА1МС + РМВМВ 1) \u003d 0.5p \u003d p / 2

3.ÐО 1 MO 2 - tuwid na linya. MS - ang taas ng tatsulok O 1 MO 2, dahil ang tangent MN ay patayo sa radii na iginuhit sa mga punto ng tangency → ang mga tatsulok О 1 МС at МО 2 С ay magkatulad.

4.O 1 M / MO 2 \u003d O 1 C / MS \u003d r / √Rr \u003d √r / R (magkatulad)

Mga pahayag na ginamit sa patunay 1) Ang sentro ng bilog na nakasulat sa sulok ay nakasalalay sa bisector ng anggulong ito. Ang mga tatsulok na paa ay ang mga bisectors ng mga anggulo.

2) Gamit ang katotohanan na ang mga anggulo na nabuo sa paraang ito ay pantay, nakuha namin na ang nais na anggulo na isinasaalang-alang namin ay isang tuwid na linya. Napagpasyahan namin na ang tatsulok na ito ay talagang hugis-parihaba.

3) Pinatunayan namin ang pagkakapareho ng mga tatsulok na kung saan ang taas (dahil ang padaplis ay patayo sa radii na iginuhit sa mga punto ng talata) ay naghahati sa tamang tatsulok, at sa pamamagitan ng pagkakapareho nakuha namin ang nais na ratio.

§ 2.5 Ari-arian 5

Ang tatsulok na nabuo sa pamamagitan ng punto ng kalituhan ng mga bilog sa bawat isa at ang mga punto ng intersection ng mga bilog na may tangent ay hugis-parihaba. Ang ratio ng mga binti nito ay katumbas ng quotient ng mga ugat ng radii ng mga bilog na ito.

Katunayan

▲ А 1 ММ at ▲ СМВ 1 - isosceles → → РМА 1 С \u003d РМСА 1 \u003d α, РМВ 1 С \u003d Ð МСВ 1 \u003d β.

2α + 2β + РА 1 МС + РМВМВ 1 \u003d 2p → 2α + 2β \u003d 2p - (РА 1 МС + РМВМВ 1) \u003d 2p - p \u003d p, α + β \u003d p / 2

Ngunit ang РА 1 CB 1 \u003d α + β → РА 1 CB 1 - tuwid na linya → РВ 1 СО 2 \u003d РВВ 1 О 2 \u003d p / 2 - β \u003d α

Ang М А 1 ММ at ▲ СО 2 В 1 ay magkatulad → А 1 С / СВ 1 \u003d МС / О 2 В 1 \u003d √Rr / R \u003d √r / R

Mga pahayag na ginamit sa patunay 1) Ipininta namin ang kabuuan ng mga anggulo ng mga tatsulok, sinasamantala ang katotohanan na ang mga ito ay isosceles. Ang isosceles ng mga tatsulok ay napatunayan gamit ang pag-aari ng pagkakapantay-pantay ng mga segment ng mga tangents.

2) Ang pagkakaroon ng nakasulat na kabuuan ng mga anggulo sa ganitong paraan, nakuha namin na sa tatsulok na isinasaalang-alang mayroong isang tamang anggulo, samakatuwid ito ay hugis-parihaba. Ang unang bahagi ng pahayag ay napatunayan.

3) Sa pamamagitan ng pagkakahawig ng mga tatsulok (kapag nagbibigay-katwiran, ginagamit namin ang pagkakapareho ng pag-sign sa dalawang anggulo) nakita namin ang ratio ng mga binti ng isang tamang tatsulok.

§ 2.6 Ari-arian 6

Ang quadrangle na nabuo ng mga punto ng intersection ng mga bilog na may tangent ay isang trapezoid kung saan maaaring isulat ang isang bilog.

Katunayan 1. ▲ А 1 RA 2 at ▲ В 1 РВ 2 - isosceles dahil A 1 P \u003d RA 2 at B 1 P \u003d RV 2 bilang mga segment ng tangents → ▲ A 1 RA 2 at ▲ B 1 RV 2 - magkatulad.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, sapagkat ang mga kaukulang anggulo na nabuo sa intersection ng secant A 1 B 1 ay pantay.

MN - gitnang linya ayon sa pag-aari 2 → А 1 А 2 + В 1 В 2 \u003d 2MN \u003d 4√Rr

А 1 В 1 + А 2 В 2 \u003d 2√Rr + 2√Rr \u003d 4√Rr \u003d А 1 А 2 + В 1 В 2 → sa trapezoid А 2 А 1 В 1 В 2 ang kabuuan ng mga batayan ay katumbas ng kabuuan ng mga panig, at ito ay kinakailangan at sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng isang nakasulat na bilog.

Mga pahayag na ginamit sa patunay 1) Ginagamit namin muli ang pag-aari ng mga segment ng mga tangents. Gamit ito, pinatunayan namin ang mga isosceles ng mga tatsulok na nabuo sa pamamagitan ng punto ng intersection ng mga tangents at ang mga punto ng pag-unat.

2) Ang pagkakapareho ng mga tatsulok na ito at ang pagkakatulad ng kanilang mga batayan ay susundin mula rito. Sa batayan na ito, tapusin namin na ang quadrangle na ito ay isang trapezoid.

3) Ayon sa pag-aari (2) na napatunayan sa amin ng mas maaga, matatagpuan namin ang midline ng trapezoid. Ito ay katumbas ng dalawang geometric na nangangahulugang radii ng mga bilog. Sa nagreresultang trapezoid, ang kabuuan ng mga base ay katumbas ng kabuuan ng mga panig, at ito ay isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng isang nakasulat na bilog.

§ 3. Gawain

Isaalang-alang ang isang praktikal na halimbawa kung paano gawing simple ang solusyon ng problema gamit ang mga pag-aari sa itaas.

Gawain 1

Sa tatsulok na ABC, ang gilid AC \u003d 15 cm. Ang isang bilog ay nakasulat sa tatsulok. Ang ikalawang bilog ay hawakan ang una at ang mga gilid ng AB at BC. Sa gilid na AB, ang point F ay napili, at sa gilid BC, ang point M ay napili upang ang segment na FM ay isang karaniwang tangent sa mga bilog. Hanapin ang ratio ng mga lugar ng tatsulok na BFM at ang quadrangle AFMS kung ang FM ay 4 cm, at ang point M ay dalawang beses na mas malaki mula sa gitna ng isang bilog kaysa sa sentro ng isa.

Ibinigay: FM karaniwang tangent AC \u003d 15cm FM \u003d 4cm O 2 M \u003d 2O 1 M

Maghanap ng S BFM / S AFMC

Solusyon:

1) FM \u003d 2√Rr, \u200b\u200bO 1 M / O 2 M \u003d √r / R

2) 2√Rr \u003d 4, √r / R \u003d 0.5 → r \u003d 1, R \u003d 4; PQ \u003d FM \u003d 4

3) ▲ BO 1 P at ▲ BO 2 Q ay magkatulad → BP / BQ \u003d O 1 P / O 2 Q, BP / (BP + PQ) \u003d r / R, BP / (BP + 4) \u003d 0.25; BP \u003d 4/3

4) FM + BP \u003d 16/3, S FBM \u003d r * P FBM \u003d 1 * (16/3) \u003d 16/3; AC + BQ \u003d 15 + 4/3 + 4 \u003d 61/3

5) S ABC \u003d R * P ABC \u003d 4 * (61/3) \u003d 244/3 → S BFM / S AFMC \u003d (16/3) :( 244/3) \u003d 4/61

Gawain 2

Dalawang tangent na bilog na may kanilang karaniwang punto D at ang karaniwang tangent FK na dumadaan sa puntong ito ay nakasulat sa isosceles tatsulok na ABC. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga sentro ng mga bilog na ito kung ang base ng tatsulok ay AC \u003d 9 cm, at ang segment ng gilid ng tatsulok na nakapaloob sa pagitan ng mga punto ng pag-agaw ng mga bilog ay 4 cm.

Ibinigay: ABC - tatsulok na isosceles; Ang FK ay ang pangkalahatang tangent ng mga nakasulat na bilog. AS \u003d 9 cm; NE \u003d 4 cm

Solusyon:

Hayaan ang mga linya ng AB at CD na lumusot sa puntong O. Pagkatapos OA \u003d OD, OB \u003d OS, samakatuwid CD \u003d AB \u003d 2√Rr

Ang mga puntos O 1 at O \u200b\u200b2 ay namamalagi sa bisector ng anggulo ng AOD. Ang bisector ng isosceles tatsulok na AOD ay ang taas nito, samakatuwid, AD ┴ O 1 O 2 at BC ┴ O 1 O 2, na nangangahulugang

AD ║ BC at ABCD - isosceles trapezoid.

Ang segment ng MN ay ang midline nito; samakatuwid, AD + BC \u003d 2MN \u003d 2AB \u003d AB + CD

Samakatuwid, ang isang bilog ay maaaring maipasok sa trapezoid na ito.

Hayaan ang AP ang taas ng trapezoid, ang tamang tatsulok na APB at O \u200b\u200b1 FO 2 ay magkatulad, samakatuwid ang AP / O 1 F \u003d AB / O 1 O 2.

Kaya't nalaman natin iyon

Mga Sanggunian

Apendiks sa pahayagan "Una ng Setyembre" "Matematika" №43, 2003
GAMIT 2010. Matematika. Gawain C4. Gordin R.K.

Hayaan ang mga bilog na bibigyan ng isang vector mula sa pinagmulan hanggang sa gitna at ang radius ng bilog na ito.

Isaalang-alang ang mga bilog A at B na may radii Ra at Rb at radius vectors (vector sa sentro) a at b. Bukod dito, ang Oa at Ob ang kanilang mga sentro. Nang walang pagkawala ng pagiging pangkalahatan ng pangangatuwiran, ipinapalagay namin na Ra\u003e Rb.

Pagkatapos ang mga sumusunod na kondisyon ay nasiyahan:

Gawain 1: Mansions ng mahahalagang maharlika

Ang mga punto ng intersection ng dalawang bilog

Ipagpalagay na ang intersect A at B sa dalawang puntos. Hanapin ang mga punto ng intersection na ito.

Upang gawin ito, ang vector mula sa a hanggang sa punto P, na nakalagay sa bilog A at namamalagi sa OaOb. Upang gawin ito, kunin ang vector b - a, na kung saan ay magiging vector sa pagitan ng dalawang mga sentro, gawing normal (palitan ng codirectional unit vector) at palakihin ni Ra. Ang nagreresultang vector ay ipinapahiwatig ng p. Maaari mong makita ang pagsasaayos na ito sa fig. 6

Fig. 6. Vector a, b, p at kung saan sila nakatira.

I-denote ang i1 at i2 bilang mga vectors mula sa isang hanggang sa mga punto ng intersection I1 at I2 ng dalawang bilog. Ito ay naging malinaw na ang i1 at i2 ay nakuha sa pamamagitan ng pagliko mula sa p. Dahil alam namin ang lahat ng mga panig ng mga tatsulok na OaI1Ob at OaI2Ob (Radii at ang distansya sa pagitan ng mga sentro), maaari naming makuha ang anggulo na ito, ang pag-ikot ng kung saan ang vector p ay nagbibigay sa I1 sa isang direksyon at I2 sa kabilang.

Sa pamamagitan ng cosine teorem, ito ay katumbas ng:

Kung lumiko ka sa p, nakakakuha ka ng i1 o i2, depende sa kung aling direksyon ang iyong pinihit. Susunod, ang vector i1 o i2 ay dapat na maidagdag sa isang upang makuha ang intersection point

Ang pamamaraang ito ay gagana kahit na ang sentro ng isang bilog ay nasa loob ng isa pa. Ngunit doon mismo ang vector p ay kailangang itakda sa direksyon mula sa isang b, na ginawa namin. Kung nagtatayo kami ng p, umaasa sa isa pang bilog, kung gayon walang gagana

Sa wakas, sa konklusyon, ang isang bagay ay dapat na nabanggit sa lahat: kung ang mga bilog ay padaplis, kung gayon madali itong mapatunayan na ang P ay ang punto ng pag-aalinlangan (ito ay totoo para sa parehong panloob at panlabas na tangency).
Dito makikita mo ang visualization (kailangan mong mag-click upang magsimula).

Gawain 2: Mga puntos sa Interseksyon

Ang pamamaraang ito ay gumagana, ngunit sa halip na anggulo ng pag-ikot, maaari mong kalkulahin ang kosine nito, at sa pamamagitan nito ang sine, at pagkatapos ay gamitin ang mga ito kapag umiikot ang vector. Ito ay lubos na gawing simple ang pagkalkula, alisin ang code ng mga pag-andar ng trigonometriko.

Hayaan ang isang bilog at isang punto na hindi magkakasabay sa gitna C (Larawan 205). Tatlong kaso ang posible: ang punto ay nasa loob ng bilog (Fig. 205, a), sa bilog (Fig. 205, b), sa labas ng bilog (Fig. 205, c). Gumuhit kami ng isang tuwid na linya na ito ay intersect ang bilog sa mga puntos K at L (kung sakaling b) ang punto ay magkatugma sa isa sa kung saan ay magiging pinakamalapit sa punto kumpara sa lahat ng iba pang mga punto ng bilog), at ang iba pang pinaka malayong lugar.

Kaya, halimbawa, sa fig. 205, at ang puntong K ng bilog ang pinakamalapit sa. Sa katunayan, para sa anumang iba pang mga punto ng bilog, ang sirang linya ay mas mahaba kaysa sa segment ng CAG: ngunit din dahil Sa kabaligtaran, nahanap namin para sa punto L (muli, ang nasira na linya ay mas mahaba kaysa sa tuwid na segment ng linya). Ang pagtatasa ng natitirang dalawang kaso ay ibinibigay sa mambabasa. Tandaan na ang pinakadulo na distansya ay ang pinakamaliit kung o kung.

Nagpapatuloy kami upang pag-aralan ang mga posibleng kaso ng pag-aayos ng dalawang mga bilog (Fig. 206).

a) Ang mga sentro ng lupon ay nag-tutugma (Larawan 206, a). Ang ganitong mga bilog ay tinatawag na concentric. Kung ang radii ng mga bilog na ito ay hindi pantay, kung gayon ang isa sa kanila ay namamalagi sa loob ng isa pa. Sa kaso ng pantay na radii, nagkakasabay sila.

b) Ngayon hayaan ang mga sentro ng bilog. Ikonekta ang mga ito sa isang linya, ito ay tinatawag na linya ng mga sentro ng isang naibigay na pares ng mga bilog. Ang magkakasamang pagsasaayos ng mga lupon ay depende lamang sa ratio sa pagitan ng laki ng segment d na kumonekta sa kanilang mga sentro at ang mga halaga ng radii ng mga bilog R, r. Lahat ng posibleng mga magkakaibang mga kaso ay ipinakita sa Fig. 206 (isipin).

1. Ang distansya sa pagitan ng mga sentro ay mas mababa sa pagkakaiba-iba ng radii:

(Fig. 206, b), ang maliit na bilog ay nasa loob ng malaki. Kasama rin dito ang kaso ng a) pagkakasabay ng mga sentro (d \u003d 0).

2. Ang distansya sa pagitan ng mga sentro ay katumbas ng pagkakaiba-iba ng radii:

(Fig. 206, s). Ang maliit na bilog ay namamalagi sa loob ng malaki, ngunit may isang pangkaraniwang punto kasama ito sa linya ng mga sentro (sinasabi nila na mayroong isang panloob na ugnay).

3. Ang distansya sa pagitan ng mga sentro ay mas malaki kaysa sa pagkakaiba-iba ng radii, ngunit mas mababa sa kanilang kabuuan:

(Larawan 206, d). Ang bawat isa sa mga bilog ay namamalagi nang bahagya sa loob, bahagyang labas ng isa.

Ang mga bilog ay may dalawang mga punto ng intersection K at L, na matatagpuan symmetrically na may paggalang sa linya ng mga sentro. Ang isang linya ay isang karaniwang chord ng dalawang mga intersecting na bilog. Ito ay patayo sa linya ng mga sentro.

4. Ang distansya sa pagitan ng mga sentro ay katumbas ng kabuuan ng radii:

(Larawan 206, e). Ang bawat isa sa mga bilog ay namamalagi sa labas ng iba pang, ngunit mayroon silang isang pangkaraniwang punto sa linya ng mga sentro (panlabas na ugnay).

5. Ang distansya sa pagitan ng mga sentro ay mas malaki kaysa sa kabuuan ng radii: (Larawan 206, f). Ang bawat isa sa mga bilog ay namamalagi ganap sa labas ng iba pang. Ang mga bilog ay walang karaniwang mga puntos.

Ang pag-uuri sa itaas ay ganap na sumusunod mula sa na-disassembled. sa itaas ang tanong ng pinakamalaking at pinakamaliit na distansya mula sa isang punto patungo sa isang bilog. Kinakailangan lamang na isaalang-alang ang dalawang puntos sa isa sa mga lupon: ang pinakamalapit at ang pinakamalayo mula sa gitna ng ikalawang bilog. Halimbawa, isinasaalang-alang namin ang kaso ng Kondisyon. Ngunit ang punto ng isang maliit na bilog na pinakamalayo mula sa O ay matatagpuan sa isang distansya mula sa gitna ng O. Samakatuwid, ang buong maliit na bilog ay nasa loob ng malaking. Ang iba pang mga kaso ay isinasaalang-alang din.

Sa partikular, kung ang radii ng mga bilog ay pantay, pagkatapos lamang ang huling tatlong mga kaso ay posible: intersection, panlabas na ugnay, panlabas na lokasyon.

KATOLIKO